Ebook2

134 Rozdział 5. Rachunek całkowy

Twierdzenie 5.2. Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale I, a F jest jej funkcją pierwotną, to

J F'{x)dx = F(x) + C,

(f f(x)dx\ = f(x).    • H

Podamy teraz wzory na całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych. C oznacza dowolną stałą rzeczywistą.

f Odx =	C
I dx =	x + C
fx^pdx =	^xP+l + C P+1 ^+ U’	gdzie	pe R\ {-i}
/¥-	ln |x| + C	dla	£ 7^ 0
f sinxdx =	— COS £ + C	dla	£ € K
J cos x dx —	sin £ -f C	dla	£ € M
f-T- = J COS^ I	tg £ + C	dla	£ 7^ | /c7r, gdzie k € Z
f <£r •l sin^2 x	— Ctg£ + C	dla	x 7^ /c7r, gdzie /c € Z
C dx J m^7 -	ar ctg £ -1- C	dla	£ € R
r J \/i—i^2	aresin x + C	dla	£ € (-1, 1)
fa^xdx =	£ + c	dla	0 < o / 1 oraz x € R
f e^xdx =	e^x + C	dla	£ € M

Uwaga 5.1. Prawdziwe są również następujące wzory:

f T+T* ^{= —}arcctg x + C dla x6K,

J-j&Lp = — arccos£ + C dla a: €( — 1,1).

W zadaniach dotyczących całek nieoznaczonych umownie nie podajemy przedziałów, w których dana funkcja jest. całkowalna.

PRZYKŁAD 1. Korzystając z podstawowych wzorów, obliczyć całki:

a)    f

^b)

c) f ctg²xdx.

5.2. Całkowanie przez podstawienie, całkowanie przez części

135

ROZWIĄZANIE.

a)

/

x(>/x — x² y/x)

dx =

/-t(x² — x²x^ dx = / #3(a;5 — x*)dx

X 3    ^

f (xe — x³)dx — A_xir ~    + C ³⁵

A ^13 _ 1^4 ₊

^b)

h

dx

sin x cos^ x

/•'

sin² x + cos² x

dx =

sin x cos x sin² xdx

cos² xdx

/sin² xdx f

sin² x cos² x J

f dx f dx    _

=    / -o^- + /    • 2    = tgX - CtgX + C,

y cos^ x J sin^ x

sin* x cos"' x

c)

f ₂    ,    f cos^{2 x} , f 1 ^— sin² ^ , f dx f ,

I ctg xax =    / —^—ax = / -~-ax = / —*--dx

J    ' J sin² x J sin x    J sin² x J

= —ctgx — x + C.

5.2 Całkowanie przez podstawienie, całkowanie przez części

Twierdzenie 5.3. Załóżmy, że funkcja g(x) = t ma ciągłą pochodną dla a ^ x ^ 6. Niech c ^ #(x) ^ d oraz niech funkcja f(t) będzie ciągła na przedziale [c, d]. Wtedy

J f(9{x))g'(x)dx = j f(t)dt.    (5.2)

Wzór (5.2) nazywamy wzorem na całkowanie przt iimnin{ mirnnrj (pi < podstawienie). Korzystając z metody całkowania ni/« podał ,iwn nl< mo; im