8592539740

19

Funkcje zespolone.

Twierdzenie 4.2. Jeżeli funkcja f jest ciągła na krzywej gładkiej C, to

I f(z)dz |< ML, c

gdzie M := sup | f(z) \ oraz L oznacza długość krzywej C. zec

Całka f f(z)dz po krzywej kawałkami gładkiej C jest sumą całek po

c

każdej jej gładkiej części.

Twierdzenie 4.3. Jeżeli funkcja f(z) = u(x,y) + iv(x,y) jest ciągła na

krzywej kawałkami gładkiej C, to całka krzywoliniowa f f(z)dz istnieje oraz

c

J f(z)dz = J u(x,y)dx — v(x,y)dy + i J v(x,y)dx + u(x,y)dy. cc    c

Twierdzenie 4.4. (O zamianie całki krzywoliniowej na całkę oznaczoną)

Jeżeli funkcja f jest ciągła na krzywej gładkiej C o przedstawieniu parametrycznym z = z(t), t 6 [a,P], skierowanej zgodnie ze wzrostem parametru, to 0

J f(z)dz = j f(z(t))z'(t)dt. c    a

Przykład 4.5. Niech C będzie krzywą o równaniu z(t) = e^lt, t€ [—7T, 0].

Wówczas

o

j \z\dz= j | e“ | ie^udt = 2.

C    -TT

□