PC043354

MuedttałJ. Funkvjr jeJtuff

Twikmdzknik 3.21. (Twiwdowb Wkikrstuassa)

Jeżeli funkcja f Jest ciągła na przedziale (a, b), gdzie a,b e R, a <b,to

\J f\ /<*!)</(*)

Twierdzenie Weierstrassa orzeka, że funkcja ciągła na przedziale dorobię, tyra {a, b), gdzie a < b, osiąga kresy.

Założenia ciągłości / oraz domkniętoścl i ograniczoności przedziału foty są istotne. Pominięcie jednego lub obu tych założeń w twierdzeniu 3.21 prowadź do zdania fałszywego (p. rys. 3.1).

b) y

a

b x

a

b x

Rys. 3.1. Teza twierdzenia Weierstrassa nie musi być spełniona, jeśli funkcja nie Jest duh (a) lub przedział nie jest ograniczony lub domknięty (b)

Źródło: opracowanie własne

Twierdzenie 3.22. (Twierdzenie DarboukJ

Jeżeli funkcja / jest ciągła na przedziale / oraz dla pewnych a,b e / zachodzi

yo*(f(a)J(b)) x₀€l

Założenie o ciągłości funkcji i fakt, iż jest ona określona na przedziale (domkniętym lub nie) są istotne (p. rys. 3.2).

Przykład 3.31.

Wykażemy, że równanie

x = cos*

ma rozwiązanie należące do przedziału (0,§). Istotnie, funkcja f(x) = .r cós.r jest ciągła na przedzlule (0, §) oraz /(O) | -l < 0, /(f) = § > 0. Istnieje więc x_o6(0,j). że m = 0, co należało pokazać.

Rn. 3.2. Ifeza twierdzeniu Darboux nie musi być spelnlomi, Jcfll funkcja nie )<jii cl^|)« (., hib jej dziedzina jest sumą rozłącznych przedziałów (h). W obu przypadkach m nl* jtu wartością funkcji Źródło: upracowanie własna

Twierdzeńik 3.23.

Załóżmy, że /: X —* R Jest funkcją ciągłą. Wtedy obraz przedziału / c X w odwzorowaniu /, czyli zbiór

/(/) - [f(x)\ x e /|.

jest także przedziałem.

Jeżeli J Jest przedziałem otwartym (domkniętym), to jego pr/eciwobraz, tzn. zbiór

f-'iJ) = [xeX\f{x)€J), jest zbiorem otwartym (domkniętym).

Uwaga. Przedział /(/) nie musi być otwarły ani domknięty, nawet jeśli / ma odpowiednią własność. Również zbiór (J) nie musi być przedziałem. Propo-nujemy czytelnikowi wykonanie rysunków ilustrujących te uwagi.

3.4. Rachunek różniczkowy

3.4.1. Pochodna funkcji, jej obliczanie i podstawowe własności

W całym podrozdziale zakładamy, że D c R będzie otwartym, niepustym przedziałem bądź sumą takich przedziałów.

Definicja 3.15.

Niech f:D-*R oraz xo e D. Jeżeli istnieje skończona granica

,. f(xa + h)~ f(xo) 111

lim-7-,    (3.11)

a-*o . . n

to nazywamy ją pochodną funkcji / w punkcie .vo i oznaczamy przez W takim przypadku mówimy także, że / jest różniczkowaina w punk-

cle *0.

119