Skrypt"

Twierdzenie 2. 9 Jeżeli lim~_,.-, f{x) = 0, to lim,-*,    = 1.

Funkcja / jest ciągła w punkcie 2^, jeśli 1° / jest określona w %,

2° / ma granicę w .x₀.

3° iirm^,./(>;• = fixo).

Mówimy, że funkcja jest ciągła w przedziale otwartym, jeśli jest. ciągła w każdym punkcie tego przedziału.

Z Tw.2.T wynika, że suma, różnica, iloczyn, iloraz (przy dodatkowym założeniu, że dzielnik jest różny od zera) funkcji ciągłych są funkcjami ciągłymi.

Złożenie fuiiKcji ciągłych jest funkcją ciagią.

Wielomiany, funkcje wymierne, potęgowe, wykładnicza.. logarytmiczne i trygonometryczne są ciągłe % swoich dziedzinach.

Funkcja / jest:

■prawostronnie ciągła w xq <=> ::m..__j;-r /(x) ~ f (mc), lewostronnie ciągła w 2*,₃    f[x) — f[x0).

Funkcja jest ciągła w punkcie x_z wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie prawostronnie i lewostronnie ciągra.

Jeśli funkcja / nie jest ciągra w punkcie xo, to punkt ten nazywamy punkiem nieciągłości f.

Zad. 2.19. Pokazać, że nie istnieje lim,-_o sgn (sin y;. gezie san oznacza funkcje znaku argumentu, czyli

1    dla    x    >    0

sgn x

0    dla    x    —    0

— 1    dla    x    <    0.

Rozwiązanie. Korzystając z de:. Heinego, wystarczy wskazać dwa ciągi x_n * 0 oraz z_n —? 0 takie, oy

lim syn

* OC "

lim. san

r.—30    “

sin *r •

x_n

Weźmy na. przykład x_n. =    x_r.. = ryts-

Ponieważ

sgn (s:n(- + 2nr)l = san fi) = 1 -» 1.

sgn (sin(-^ + 2n~ą = sgn (-1) = -1 — -L więc ‘.;m_x^o ^s3ⁿ (sin t) nie istnieje.