Skrypt

Twierdzenie 2. 4 .Jeżeli ciąg (a_n) jest zbieżny, to ciąg (a'_n) powstały z ciągu ;c_n) ■przez przestawienie, usunięcie lub dołączenie skończonej liczby -wyrazów, jest także zbieżny i ma tę sama granicę co ciąg (a_n).

Twierdzenie 2. 5 (o działaniach arytmetycznych na granicach)

Jeżeli

lim a--. = a i lim K = b.

n—.20    n—^20

io

lim (o_n + b_rJ\ = a + b. lim (o* —    = a — b. lim (cm ■ b_n) = a ■ b.

rj—CC '    '20 '    ''    ■ rj.—*oe

oraz przy dodatkowym założeniu, że 6,-. yś O i b # O

lim ^ = -.

ⁿ—³⁰ &

Ciąg {a_n; jest:

rozbieżny do -oc linm.^ a_n = -cc s=> ¥s_>0R_Ji;€n^Wo^ > £. rozbieżny do -cc- ■==■ lim_n_co a* = -cc <=> V^_<D5_r<6^V_;,_>noG,_; < .7.

W przypadku rozbieżności (a_n; do cc mówimy, że (a_n) ma granicę niewłaściwą.

Twierdzenie 2. 6

lim a_r — O i a., > O =■ lim — = — 00.

n.—cc '    ■    *—:o a_Tj lin:. a_n = 0 i a., < O => lim — - —00.

r.-.ce a_n

lim ! a- != +cc i a_n == O =?■ lim — = 0. n—c-c ¹    ■    «—co a_n

Zad. 2.9. Pokazać z- definicji, że liiru,._._:o = 3.

Rozwiązanie. Niech £ oznacza dowolną liczbę dodatnią. Należy wskazać.'.liczbę n-c £ N taką, by dla. n > n₀ zachodziła nierówność

3 77 - 1 n — 1

-3

< £.

Po elementarnych przekształceniach lewej strony nierówności, mianowicie

_: 3n - i _ 3n — 1 — 3(n + i; 3n - 1 - 3n - 3    -4 ._    4

n i- I    n — i    '    n — 1    '    « + 1 n — 1''

otrzymujemy < s. skąd n > 7 — ;.. Wystarczy zatem przyjąć za no liczbę naturalną większą bądź równą 7 — 1.

i O