4 (1376)

46

Ciągi liczbowe

3. Ciąg (a_n) jest ograniczony, jeżeli zbiór {a_n} jest ograniczony, tzn.

\J f\ a_n < M.

TO,MeR neN

Obrazowo: ciąg jest ograniczony, gdy wszystkie jego wyrazy leżą między dwiema

prostymi poziomymi (rys. 1.1.4). Ciąg, który nie jest ograniczony, nazywamy nieograniczonym.

podstawowe określenia

n

^a) ^a'ⁿ = rd^TT’

c) c_n — n

e) e_n =

mr

sin

n² + n sin n — ?

Rys. 1.1.4. Wykres ciągu ograniczonego.

• Definicja 1.1.9 (ciągi rr 1. Ciąg (fln) jest rosnący,

Obrazowo: ciąg jest rosnąc (rys. 1.1.5), tzn. a\ < a2 2. Ciąg (a_n) jest niemałej.

Uwaga. W definicji ciągu ograniczonego zawsze można tak dobrać stale m i M, aby 0 < M = — m. Wtedy

/\ M < M.

neN

o Ćwiczenie 1.1.6

Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu:

,—    fl

a) cin - v2;    b) bn —

c) c_n = log₃ n;

7T

Obrazowo: ciąg jest niema szają się lub pozostają be:

n + 1’ d) d_n = 10n — n²;

e) Sn = ctg

3n ’

0 /n = 5 sin (n! + 1)

o Ćwiczenie 1.1.7

Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z góry: a) a_n = 3^-n;

, 1 1 1

c) Cn — ——7 4--4-... 4--;— i

n-f 1    n 4- 2    n + n

/    1 \ n

e*) e_n = (1 +

n² + 1

^d)d"~n! + 100’

f*)/„ = l + l + i + -.. + i

1    2    3    4    5

Rys. 1.1.5. Wykres ciągu i

O Ćwiczenie 1.1.8

Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone:

Rys. 1.1.7. Wykres ciągu 1