Ciagi liczbowe

CIĄGI LICZBOWE

c

Zadanie \11/ Wykazać ograniczoność ciągu o wyrazie ogólnym a_n — |%₊₁-

Zadanie ^2^ Zbadać czy podane ciągi są monotoniczne i podać rodzaj tej monotoniczności

a) a, - ^{3n hi}-

ⁿ 5n+3 ’ ^Un 271+1’

bj _a — 3n+4 ^u/ ^an ~ 2n+3 ’

H j a = ^3rŁ^²

^un _n+2 ’

Zadanie Ciąg {a_n} jest ciągiem rosnącym. Co można powiedzieć o monotoniczności

ciągu {b_n =

d⁷

(^n)² +

Zadanie 4^)Dane są dwa ciągi {u_n} i {v_n} przy czym

„ 111    1    1

Un — 1 + TT +    + IW + • • • d--P Un — UnĄ--r.

1!    2!    3!    nl    nl

a)    Wykazać, że {u_n} jest ciągiem ściśle rosnącym, a {+_n} jest po opuszczeniu pierwszego wyrazu ciągiem ściśle malejącym.

b)    Wykorzystując nierówność f\ pl > 2^P_1 wykazać, że ciąg {«„} jest ograniczony z góry

_PeN

przez liczbę 3.

,    .    ,    2ⁿ    n

Zadanie 15. Udowodnić, że ciągi a_n — —r, b_n = 7-— są zbieżne.

nl    (n — 1):

Zadanie 16. Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że

a) lim

4n²

eon - 2n²

-2,

b) lim

3n²

= 3,

2n² + 3n + l

d) lun -^;-- = 2,

n—»oo n² - 1 —2n + 7

g) lim

n—»oo 3n + 1

2

3’

n—>oo n² + n + 2

. n² — n + 5    1

e) lim .....-------= —,

71—700 5n² — 3    5

h) lim log(n² + 2n + 5) = 00,

n—* 00

c) lim

9n²

1

= —3,

71 700 n> — 3 n²

4n — 3    4

-

f) lim

7i—7oo 7n + 2

i) lim log(n⁴ + 3) = 00.

Zadanie 17. Obliczyć granicę ciągów o wyrazie ogólnym

\Zn³ + 2 n² — \/n³ — 1 Vn² + 7n — \/n² + 5 .    /5n² + 7n + 13\ⁿ²+ⁿ

^C) = ( 5n² + n + 3 )    ’

.    / 3n² + bn + 1 \ ^Tl+⁴

^e) = V3n² + 4n + 2/    '

b) &n — d) a>n — f) a_n =

¹⁺| + | + ... + ^r

^x 5 ~ 25 ' • ■ • ^T 5«-

r

2n² + 7n + 2\ⁿ+²

V 2n² + n + 4 'n² + 5n — 2\

n-f-7

2n

4