Obraz6 (28)

TEST VI Matura z matematyki - poziom rozszerzc

Test VI

Zadanie 1. (3 pkt)

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a_n = \n² — 901 — 17.

a)    Uzasadnij, że ciąg ten nie jest monotoniczny.

b)    Znajdź najmniejszy wyraz tego ciągu.

Zadanie 2. (5 pkt)

Rozwiąż równanie

4—=2__

cos² 3x + 4    cos² 3x + 5

gdzie x e (0,7r).

Zadanie 3. (5 pkt)

Dana jest funkcja

a)    Wykaż, że wykres tej funkcji jest symetryczny względem prostej x = 2.

b)    Wyznacz największą wartość ujemną tej funkcji.

Zadanie 4. (5 pkt)

Wyznacz liczby p i q tak, aby liczba 5 była dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) — x³ — 8x² +px-\-q. Oblicz trzeci pierwiastek.

Zadanie 5. (5 pkt)

Dana jest nierówność

\x — 1| + \x + 2| < m.

Wyznacz te wartości parametru m, dla których ta nierówność nie ma rozwiązań. Zadanie 6. (3 pkt)

Uzasadnij, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez 6 lub przy dzieleniu przez 18 daje resztę 2.

Zadanie 7. (Ą pkt)

Wykaż, że jeżeli o,6,c są liczbami dodatnimi takimi, że a ^ 1,6 ^ l,c ^ 1 oraz ab ^ 1, to zachodzi równość

.    log_(łc* logfcC

'"Kot''    „.LI.....

adanie 8. (Ą pkt)

,e zbioru {1,2,3,..., n} losujemy kolejno dwie liczby. Oblicz prawdopodobień-two, że pierwsza z nich będzie mniejsza od pewnej ustalonej liczby k (1 < k < n), la druga większa od k.

Zadanie 9. (5 pkt)

Ha płaszczyźnie dane są cztery punkty: A = (1,2), B = (5,4), C — (3,6) i D = (0,8). Przez punkt D poprowadzono prostą l prostopadłą do prostej AB. Znajdź na prostej l taki punkt E, aby pole trójkąta ABC było równe polu trójkąta ABE.

Zadanie 10. (6 pkt)

Długości boków trapezu prostokątnego tworzą ciąg geometryczny. Ramię, które jest najkrótszym bokiem trapezu, ma długość 1. Oblicz długość dłuższej podstawy trapezu.

Zadanie 11. (5 pkt)

Dany jest sześcian ABCDAiB\C\Di o krawędzi długości a. Punkt K jest środkiem ściany DD\C\C, a punkt M - środkiem ściany A\BiC\Di.

a)    Znajdź długość odcinka AK.

b)    Oblicz cosinus kąta zawartego między odcinkami AK i AM.