12299 Obraz2 (34)

TEST II Matura z matematyki - poziom rozszerzonj

Test II

Zadanie 1. (5 pkt)

W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów spełniających nierówność

\x + 1| + \y - 1| < 1.

Oblicz pole powstałej figury.

Zadanie 2. (3 pkt)

Dla jakich wartości parametru a rozwiązaniem układu nierówności

f (x — a + 7)(x — a) < 0 \ x < 3

jest przedział o długości 4? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 3. (3 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji logarytmicznej f(x) = log_G x, dla x € R+.

a)    Wyznacz a.

b)    Naszkicuj wykres funkcji g(x) = f(x+l)-l.

c)    Odczytaj z wykresu zbiór argumentów, dla których g(x) > 0.

Zadanie 4. (Ą pkt)

Uczestnik telewizyjnego show wybiera dwa sejfy spośród siedmiu (w dwóch z nich znajdują się podarunki). Ile razy prawdopodobieństwo wylosowania przynajmniej jednego sejfu z podarunkiem jest większe od prawdopodobieństwa zdarzenia, że oba wylosowane sejfy będą puste?

Zadanie 5. (5 pkt)

Wyznacz x tak, aby liczby

X ( 4, x² -f 4x, Kto: + 4

l»vłv Kol<i!UViiii wyru/,iiim uim/.u iŁcoinelryi znoRo o w.ym/.iu li i iilkuwitych lóznydi

Zadanie 6. (6 pkt)

Dany jest punkt A = (1,2).

a)    Znajdź równanie prostej, która przechodzi przez punkt A i tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt o polu 4,5.

b)    Napisz równanie okręgu stycznego do obu osi układu współrzędnych i przechodzącego przez punkt A.

Rozważ wszystkie przypadki.

Zadanie 7. (3 pkt)

Udowodnij, że dla dowolnych a, b G K prawdziwa jest nierówność

5a² + 4a — 2ab b² -f 2 > 0.

Zadanie 8. (6 pkt)

Niech W(x) = x² + mx + 36.

a)    Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie W(x) = 0 ma dwa różne pierwiastki dodatnie.

b)    Dla jakich wartości parametru m równanie — 0 ma jeden pierwiastek?

Zadanie 9. (5 pkt)

Udowodnij tożsamość

1 — sin 2a _ 1 — tg a cos 2a 14- tg a⁵ dla ay^^-hk-^ia^^ + k-n, k 6 C.

Zadanie 10. (5 pkt)

W trójkącie prostokątnym równoramiennym poprowadzono środkowe z wierzchołków kątów ostrych. Oblicz cosinus kąta rozwartego zawartego między nimi.

Zadanie 11. (5 pkt)

Suma długości wysokości podstawy i wysokości ściany bocznej ostrosłupa prar widłowego trójkątnego jest równa 2. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa, dla której ma on największe pole powierzchni całkowitej.