1935182604

15

0.3. CIĄGI LICZBOWE

Twierdzenie 0.3.4 Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Dowod. Jeśli ciąg (a_n)„_epj jest zbieżny, to biorąc e = 1 > 0 istnieje no G N, że jeśli n > no, to g — \<On<g + \. Biorąc m,M G R takie, że m + 1 = min{min{a„ (ER : n < no}, <7 — 1} oraz M — 1 = max{max{a„ G R : n < no}, 5 + 1} mamy m < a_n < M dla wszystkich n G N. ■

Twierdzenie 0.3.5 (o trzech ciągach) Niech dane będą trzy ciągi liczbowe a_n,b_n,Cn mające następujące własności:

1.    istnieje no G N n > no, to a_n < Cn < n„

2.    lim a_n — g— lim b_n

n-*oo    n-łoo

to ciąg c„ jest też zbieżny oraz

Jim = g.

Dowod. Niech e > 0 będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, to istnieje % G N takie że n> no to

g — e<an<Cn<b_n<g + e co daje \cn —    < e, dowód jest więc zakończony. ■

Twierdzenie 0.3.6 (o ciągu monotonicznym i ograniczonym) Niech ciąg a_n jest rosnący (malejący) i ograniczony z góry (z dołu) odpowiednio, to jest zbieżny.

Dowod. Ciąg a„ jest ograniczony, więc zbiór

|a„ G R : n G N

jest również ograniczony w R, więc ma swój kres górny g G R. Więc dla każdego e > 0 mamy Vn G a_n < g < g + e oraz istnieje no G N takie że, g — e < a„₀ i jeśli n > no to z faktu, że jest rosnący mamy g — e < a,^ <a_n<g<g + e

co kończy dowód naszego twierdzenia w przypadku gdy a_n jest rosnący i ograniczony, dla drugiego przypadku dowód jest analogiczny. ■