CCF20121001004

Twierdzenia o ciągach
Tw.l Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Tw.2. Ciąg monotoniczny jest zbieżny <=> gdy jest		Tw.l Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
ograniczony.		Niech granicą ciągu {«„} będzie liczba a.
Tw. 3.(twierdzenie o trzech ciągach):		Niech s>0. Wówczas w przedziale (as, a+s)
Dane są trzy ciągi {a„}, {b,,}, {c„}. Jeżeli		znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli
V A a <b < c >r ' n — n n		poza nim mamy skończoną ich liczbę.
n0eN n>n0 oraz		Wybierzmy z nich (jeżeli nie jest to zbiór pusty)
lima,, = limc„ = r		wyraz najdalej oddalony od a.
n—tco w-»oo ■		Zatem istnieje przedział skończony zawierający
YY		wszystkie wyrazy naszego ciągu.
lim bn = r n-> oo 25		Czyli ciąg ten jest ograniczony! 26

Działania na granicach ciągów

lim a„=a a lim b_n=b oraz reR

lim (a_n±b_n) = a±b

a_{ll =} a «-> co b„ b

lim ra_n = ra

W—>00

lim(a„-b_n)=ab    lim—=-

n-> oo

Warto zapamiętać, że

lim Un = 1

A lim qⁿ = 0

toki _

A    lim ”fa = 1

O€(0,+«))    «-»”

A    lim — =₇0

«e(0.+°o)    n~+<*>n^a

Interpretacja ekonomiczna liczby e

Załóżmy, że startując od kapitału 1 PLN, znajdujemy hipotetycznego bankiera, który oferuje nam niezwykłą stopę oprocentowania w wysokości 100% rocznie (odsetki w wysokości 1 PLN rocznie).

Jeśli odsetki mają być kapitalizowane raz w roku, wartość naszego kapitału pod koniec roku będzie równa 2PLN. Oznaczmy tę wielkość przez K(l)

r(¹)=J(¹+D.= (l + }y = ²

Kapitał początkowy j [ Stopa procentowa

Jeśli kapitalizacja odsetek następuje co pół roku, to

r<²)-(i ₊1(1 + 1) =(i+tf

Definicja: Liczba e jest granicą ciągu a_n= \ 1 +

czyli lim (1 + — I — e

>coV /? y

iY

e « 2,71828

Tw. 4: lim(l + a„W =e , gdzie lima„-0

oo    »-»■»

Tw. 5:

n

a\a

A lim 1 + — f =e

aeN w—>co    Yl ,

a

Tw. 6:    A lim 1 +

asN «—>qol    ^

n- częstotliwość kapitalizacji odsetek w ciągu roku

lim V(n)= lim(l + -|¹ =e

00    CO ⁿ

Liczba e«2,71828 - wartość, do jakiej wzrośnie po roku kapitał początkowy o wartości 1PLN, gdy odsetki przy stopie procentowej równej 100% rocznie będą kapitalizowane w sposób ciągły.

100%- nominalna stopa procentowa

UWAGA!

172%- efektywna stopa procentowa

Uogólnienia:

1.    Więcej łat kapitalizacji

2.    Kapitał początkowy inny niż 1PLN

3.    Nominalna stopa procentowa inna niż 100%

5