82324

Twierdzenie 4.6

Szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny.

OC*

Dowód: Niech szereg Y, |x_n| będzie zbieżny.

M=1

Przedstawmy .r_n jako różnicę x_n = «„ — b_n, gdzie a_n =    , b_n =    .

IVówczas 0 ^ r;_n ^ |x_n| i 0 ^ b_n ^ |x_n|. Szeregi Y.^(ln ? Y b_n są zbieżne na mocy

n    n

kryterium porównawczego. Ciąg sum sum częściowych S_n = 53 ⁿu ~ Y h jest

k=i    k= i

zbieżny jako różnica dwóch ciągów zbieżnych.

9

Zajmiemy się leraz innymi kryteriami pozwalającymi stwierdzić zbieżność lub rozbieżność szeregu.

Twierdzenie 4.7 (Kryterium crAlemberta )

OC

Rozważamy szereg X) x_n • gdzie (V n G Aj x„ ^ 0 .

n i

Przypuśćmy, że Jim^ = o .

Wtedy

1.    jeśli rv < 1. to szereg jest bezwzględnie zbieżny;

2.    jeśli o > 1 lub a = -foc. lo szereg jest rozbieżny.

(Jeśli o = l. lo szereg może być zarówno zbieżny, jak i rozbieżny - kryterium d'Aleniberla lego nie rozstrzyga.)

Dowód:

i. Ustalmy lic-zbę r taką, że a < r < i (na przykład r = a + ^ ).

Istnieje liczba fi taka, że Vn ^    ^ r.

Dzięki temu prawdziwe są nierówności

|.r_n+1| ^ r|.r„|

l*fi+:il < 4*iwl ^ r¹\x_h\

|«t-‘n+d    ^ r|x_n_fc_i| ^    ^    c^|x'_n|

itd.

< 7.vli (Vk E A") \:r_n__k\ < r*|.r_ft|.

•00

Z kryterium porównawczego wynika, że szereg 53 |.?^:r»i*l jest zbieżny, a więc

k=i

OC    OC

również szereg X) M jest zbieżny. Stąd szereg 5Z x_k jest bezwzględnie zbież-

*-=i    '    t=i

ny.

16

1

Ustalmy liczbę $ laką, że 1 < $ < a oraz, podobnie jak w pierwszym punkcie n takie, że Vp G .-V*) \xu\$>\ ^    ^ |x_fi|, a więc 53 r». ^n|e spełnia warunku

koniecznego zbieżności.