0444

446

DII. Ciągi i szeregi funkcyjne

jest bezwzględnie zbieżny dla dowolnej zespolonej wartości z, podczas gdy szeregi

Z

o

GD

Z

1

z*

n

mają promień zbieżności R — 1.

Na brzegu koła zbieżności szeregi mogą się zachowywać różnie. Tak spośród trzech przytoczonych przed chwilą szeregów pierwszy jest wszędzie rozbieżny na okręgu |z| = 1, ponieważ nie jest spełniony zasadniczy warunek konieczny zbieżności: wyraz ogólny nie dąży do zera. Drugi szereg jest zbieżny bez-

00    j

względnie we wszystkich punktach tego okręgu, bo szereg    —j- jest zbieżny. Wreszcie jeżeli w trzecim

1 ⁿ

szeregu podstawimy z = cos 0 W sin 0, to przyjmie on postać

CO    00

V"¹ cos nO    sin nO

Zj    n    Z-j    n

1    1

i (poza przypadkiem 0 — O, tzn. z — I) jest zbieżny [38S, 2)], ale nie bezwzględnie.

Uwaga. Gdy współczynnikami szeregu potęgowego są liczby rzeczywiste (tak jak w poprzednich przykładach), to oczywiście promień R „koła zbieżności” pokrywa się na płaszczyźnie zespolonej z poprzednim promieniem „przedziału zbieżności” na osi rzeczywistej.

Wymienimy teraz inne twierdzenia o szeregach potęgowych, które można przenieść do teorii szeregów potęgowych zespolonych.

Twierdzenia 1 ° i 2° z ustępu 437 zachowują się bez żadnych zmian, a więc wewnątrz koła zbieżności suma (I) szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą zmiennej z.

Natomiast twierdzenie Abela [437, 6°] wysłowimy w sposób następujący:

Jeżeli szereg (I) jest zbieżny w pewnym punkcie z₀ okręgu |z| = R, to Qdy punkt z dąży do punktu z₀ od wewnątrz kola wzdłuż promienia, to

lim £ c„z* = c„rS (').

*■**« II-O    n-0

W szczególnym przypadku, gdy z₀ — R, możemy przyjąć, że z = r jest zmienną rzeczywistą dodatnią i równość powyższa przybiera postać:

lim c, r" = ][] c„ R".

'-U-ll ,_o    n—o

Gdy podstawimy c. =■ a, | b,i, to rozpada się ona na dwie równości

<n    00    CO    CO

lim £ ^a«^r" = 2 ^a’ ^R" ‘ ^lim 2 b_mr* = ]>] b„ RT .

^r_*^R_0 W"0    n-0    _B_₀    n-0

Ponieważ szeregi po prawych stronach są zbieżne z uwagi na zbieżność szeregu

J c. ** = J (fl.+ó. i) RT,

n«0    n-0

więc do dowodu tych równości wystarczy powołać się na zwykłe twierdzenie Abela.

Przejdźmy do przypadku ogólnego. Przez 0_o oznaczymy argument liczby z₀. Można wtedy nrzyjąć

z₀ = R (cos 6₀+i sin 0_O), z = r (cos 0_o+i sin 0_O)

(') Można udowodnić, że ta równość zachodzi nawet wtedy, gdy z dąży do z₀ w sposób ogólniejszy, jednak nie będziemy się na tym zatrzymywali.