0448

450

DII. Ciągi i szeregi funkcyjne

Dochodzimy do wniosku, że logarytm w (dla wjt0) zawsze istnieje i jest równy

(9)    Ln h> = In |H>|4-/Arg w = ln Iwl+z arg w+2kni,

a więc jest on wieloznaczny. Właściwie łatwo można to było przewidzieć biorąc pod uwagę okresowość funkcji wykładniczej. Biorąc k = 0 otrzymujemy tak zwaną wartość główną logarytmu

(10)    In w = In M+i arg w,

która różni się od pozostałych tym, że jej część urojona jest zawarta w przedziale (—n, n):

— TT < / (In W) < 7T.

Mamy na przykład

In 1 = 0, Ln 1 = 2kni; ln ( — 1) = ni, Ln ( — 1) = (2A:+1)«/, ln i = — i, Lni =    ni itd.

2 2

Przy zmiennym w, wzór (10) wyznacza gałąź główną wieloznacznej funkcji logarytmicznej Ln u>. Pozostałe gałęzie otrzymujemy ze wzoru

Ln w = ln w+2kni,

dla różnych wartości całkowitych k.

Łatwo zauważyć, że funkcja (10) jest ciągła na całej płaszczyźnie zmiennej zespolonej w, poza początkiem układu i częścią ujemną osi rzeczywistej. Nieciągłości w punkcie w = 0 nie da się usunąć, gdyż dla w -*■ 0 oczywiście In w -*■ oo. Inaczej rzecz się ma w przypadku ujemnych wartości rzeczywistych w₀ = — «_o<0. Nieciągłość powstaje tu w pewnym sensie w sposób sztuczny z powodu naszej umowy, że wartość arg w bierzemy z przedziału (—ic, re>. Gdy w = u+vi -*■ n>₀ dla v>0, wówczas arg w -*■ n = = arg w₀. Jeżeli będzie v<0, to arg w -*• —7r. Gdybyśmy przeszli z głównej gałęzi ln w w drugiej ćwiartce do innej gałęzi ln w-Y2ni w trzeciej, to ciągłość byłaby przywrócona. Tak więc, chcąc uniknąć wieloznaczności i rozbijając funkcję wieloznaczną na gałęzie jednoznaczne, tworzymy jednocześnie nieciągłości na każdej poszczególnej gałęzi. Odwrotnie, przejście od jednej gałęzi do drugiej odbywa się w sposób ciągły. Na tej właśnie spójności różnych gałęzi funkcji wieloznacznej polega ciekawa właściwość płaszczyzny zespolonej nie mająca analogii w przypadku rzeczywistych funkcji wieloznacznych określonych na osi rzeczywistej.

Z ogólnego twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej mamy (poza punktami nieciągłości)

UD

(ln w)' =

(e^zY

J

e¹

w "

Zastępując w przez 1 + w rozpatrzymy funkcję z = ln (1 + w) (w^ — 1). Mamy teraz

1 + w « 1 +

a więc

Q0

n;

R-1

Wynika stąd, że dla dostatecznie małych (co do wartości bezwzględnej) wartości w funkcję z — In (1 +h>) można rozwinąć w szereg według potęg w.

Z = W-ł-Ci W² + C3 w³-!- ... -ł-c„ w*+ ...

Szereg

[ln (1+HÓ]' = 1 + 2c₂ tv+3c₂ w²+ ... +«c, w"~^l + ... jest pochodną tej funkcji względem w, którą z uwagi na (11) można napisać tak:

[ln (l + w)]' = —^— = 1 — w+w²— ... +(—...

1 + w