0380

382

(29)

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

lim/*(x) = C„ (n = 1,2, 3,...), a w pierwszym przypadku ciąg dąży do swojej granicy jednostajnie względem x (w ), to istnieją skończone granice

limf(x) i lim C„,

x—a    ji-co

i są one równe.

Jeżeli weźmiemy pod uwagę (28) i (29), to równość

lim / (x) = lim C„,

x-a    n-ao

można napisać w postaci

lim lim /,(x) = lim lim f_n(x).

« «-*oo    *-*oo x-*a

A więc rozpatrywane twierdzenie ustala dla funkcji f_H(x) dwóch zmiennych x i n warunki istnienia i równości dwóch granic iterowanych i pozostaje w ścisłym związku z badaniami ustępu 168. Wysłowienie dla ciągów obu twierdzeń z ustępu 431 pozostawiamy czytelnikowi.

II. Niech teraz obszar OC będzie przedziałem <a, by. Rozpatrzmy zagadnienie znajdowania całki funkcji granicznej. Oto równoważnik twierdzenia 6 [434]:

Twierdzenie 6*. Jeżeli ciąg {f_n{x)} funkcji całkowalnych w przedziale (a, ó> jest zbieżny do swojej funkcji granicznej f (x) jednostajnie względem x w <a, £>, to funkcja f{x) jest całkowalna w (a, b} i

b    b

dx = lim f/„(x) dx.

*-*00 J

a    a

Równość tę napiszemy w postaci:

(30)    lim ff_H(x)dx= f {lim/„(*)} dx,

*-*00 ^J    J »-*00

*    a

skąd widać możliwość sprowadzenia znajdowania granicy całek do znajdowania granicy funkcji podcałkowych. Mówimy w tym przypadku, że dopuszczalne jest przejście do granicy pod znakiem całki.

W równości (30) są przestawione znaki granicy i całki. Ponieważ całkę oznaczoną można otrzymać jako wynik pewnego przejścia do granicy, więc rozpatrywane tu zagadnienie jest bliskie zagadnieniu rozpatrywanemu w ustępie 168.

III. Przejdźmy wreszcie do pochodnej funkcji granicznej. Dokonajmy odpowiedniej zmiany w sformułowaniu twierdzenia 8 [435].

Twierdzenie 8*. Niech wszystkie funkcje f^x) będą różniczkowalne w przedziale <a, by, a ciąg pochodnych {/,(*)} zbieżny w całym przedziale jednostajnie względem x. Jeżeli ciąg funkcji {/„(*)} jest zbieżny chociażby w jednym punkcie przedziału <a, by, to: 1) ciąg ten