0372

374

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

432. Uwaga o zbieżności ąuasi-jednostajnej. Jeżeli szereg funkcyjny (3) składa się z funkcji ciągłych w przedziale SX = <a, by i jest zbieżny w tym przedziale do sumy /(ar), to na to, by była ona ciągła, wystarcza zbieżność jednostajna szeregu, lecz w ogólności zbieżność ta wcale nie jest konieczna. Już Dini i inni zauważyli, że warunkiem wystarczającym jest pewna „osłabiona” zbieżność jednostajna, która polega na tym, że dla każdej liczby e>0 i każdego wskaźnika N' istnieje przynajmniej jeden wskaźnik n>N' niezależny od x i taki, że nierówność (6) jest spełniona jednocześnie dla wszystkich x z SC. Rzeczywiście, przy dowodzie twierdzenia 1 wykorzystalimy tylko jeden wskaźnik n, dla którego nierówność (13) była spełniona dla wszystkich x z 9C.

A nawet ta osłabiona jednostajność nie jest konieczna na to, by suma /(ar) szeregu (3) była ciągła. Nie ma jej na przykład w przypadku szeregów (15) zbieżnych do ciągłej sumy /(ar) = 0.

C. Arzela rozpatrzył w 1883 r. pewien szczególny rodzaj zbieżności (który później otrzymał nazwę ąuasi-jednostajnej zbieżności) rozwiązujący zagadnienie dokładnej charakteryzacji zbieżności szeregu, zabezpieczającej ciągłość jego sumy.

O szeregu (3) zbieżnym w przedziale SC = <a, by mówimy, że jest on zbieżny quasi-jednostajnie w SC do sumy /(ar), jeżeli dla każdej liczby e>0 i każdego wskaźnika N’ przedział SC można pokryć skończoną liczbą przedziałów otwartych

(di,b_t), («ł, ój), ....    (a,,b,).    ...,    (o*, b_k),

którym można podporządkować k wskaźników

n_u "z,    ..., u* (> N')

tak, że dla wszystkich wartości ar z SC, zawartych w (a,, b,) (/ = 1, 2, 3,..., k) jest spełniona jednocześnie nierówność

\f(x)-f, (x)\ = l9>.₍(or)| < e.

Przy wspomnianej uprzednio osłabionej jednostajnej zbieżności wszystkim or-om z SC przyporządkowany był ten sam wskaźnik n, a tu wszystkie x dzielimy na grupy, którym przyporządkowujemy różne wartości #i, lecz zawsze na skończoną liczbę grup.

Korzystając z tego pojęcia Arzela odkrył następujące twierdzenie:

Twierdzenie 3. Niech funkcje u,{x) będą określone w przedziale SC = <a, by, a szereg (3) niech będzie zbieżny w tym przedziale. Na to, by suma szeregu /(ar) też była ciągła w SC potrzeba i wystarcza,żeby szereg był ąuasi-jednostajnie zbieżny do f{x) w SC.

Konieczność. Załóżmy nąjpierw ciągłość funkcji /(ot), a więc i ciągłość wszystkich reszt q>„(x). Obierzmy w SC dowolny punkt ar'. Do danych liczb e i N można dobrać taki wskaźnik n'>N,że

l^(jf')l < e.

Ze względu na ciągłość funkcji ?>'(ar) podobna nierówność

l?tol < e

będzie spełniona także w pewnym otoczeniu <r' = (*'—6', x'+d') punktu ar'. Ze wszystkich tych przedziałów otwartych o' zbudowanych dla różnych możliwych ar' z SC, utwórzmy pewien układ nieskończony Z pokrywający przedział SC. Na mocy lematu Borela [88] możemy wybrać skończony podukład przedziałów

Z* = {<T_lt <Tj.....<r,},

który także pokrywa SC. Będą to właśnie te przedziały, o których mowa w definicji zbieżności quasi-jedno stajnej.

Dostateczność. Załóżmy teraz, że szereg (3) jest zbieżny do swojej sumy /(ar) quasi-jednostajnie. Przyjmiemy e i N\ zbudujemy przedziały (a,, bj) i dobierzemy wskaźniki n, (i = 1, 2, .... k) o własnościach podanych w definicji. W SC obierzmy dowolnie punkt x₀ na przykład z przedziału (a,₀, b,_Q). Można napisać tak samo, jak przy dowodzie twierdzenia 1 [431 (12)],

(12a)    !/(•*)—/(*<>)! < \f*^x)—f,(.x₀)\ + l9>«₍(or)| + |y»₍(ar₀)l.