0382

384

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

Chociaż liczbę r można wziąć dowolnie bliską R, z poprzedniego dowodu jednak nie wynika jeszcze jednostajna zbieżność w przedziale (—R,R). Na przykładzie szeregu geometrycznego [428,6)] widać, że końce przedziału zbieżności mogą być punktami niejednostajności.

Teraz, jako wniosek z twierdzenia 1 otrzymujemy:

2° Dla wszystkich wartości x pomiędzy —R i R suma f{x) szeregu potęgowego (31) jes^t funkcją ciągłą zmiennej x.

Dla dowoinej wartości x = x₀ wewnątrz przedziału zbieżności możemy dobrać liczbę r < R w ten sposób, żeby |x₀| < r. Stosując twierdzenie 1 do przedziału <—r, r), otrzymujemy nń mocy 1° ciągłość funkcji f(x) w tym przedziale, a więc w szczególności i dla x = x₀.

Zwracamy uwagę czytelnika na fakt, że uniknęliśmy zastosowania twierdzenia 1 do przedziału { — R, R), gdzie nie można zagwarantować zbieżności jednostajnej.

Ciągłość sumy szeregu potęgowego może być wykorzystana dla dowodu twierdzenia

0    równości szeregów potęgowych (przypominającego podobne twierdzenie o wielomianach) :

3° Jeżeli dwa szeregi potęgowe 00

= a₀ + aix + a₂x² + ... +a_Hxⁿ+

if~0

00

x" = b₀ + b₁x+b₂xⁱ + ... +ó_Bx"-l- ...

n**0

mają tę samą sumę w otoczeniu punktu x = O (*), to szeregi są tożsamościowo równe, tzn. że odpowiednie ich współczynniki są równe

^ao ⁼ tli ⁼ ^i> ti₂ — b₂,    ..., a„ = b_n.

Biorąc x = O w tożsamości

a₀ + ai x+ ... = b₀ + bi x+ ...,

przekonujemy się o równości a₀ = b₀. Odrzucając te wyrazy po obu stronach tożsamości

1    dzieląc przez x (w tym przypadku musimy przyjąć, że x # 0) otrzymujemy nową tożsamość

ai + a₂x+ ... = bi + b₂x+ ... ,

która też zachodzi we wszystkich punktach otoczenia punktu x = 0 z wyjątkiem samego tego punktu. Nie mamy więc prawa podstawić tu x = 0, lecz możemy przyjąć, że x dąży do 0. Korzystając z ciągłości, otrzymamy jednak w granicy a_v = b_t. Odrzucając te wyrazy i znów dzieląc przez x ^ 0, dla x -* 0 otrzymujemy a₂ = b₂ itd.

(’) Mamy tu na myśli nie tylko obustronne otoczenie (—<5, <5) punktu x = 0, lecz i jednostronne otoczenie postaci <0, 6) lub (—<5, 0>.