0366

368

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

429. Warunek jednostajnej zbieżności. Twierdzenie Bolzano-Cauchy’ego (39), ustające warunek istnienia skończonej granicy danego ciągu liczbowego („zasada zbieżności”) prowadzi w sposób naturalny do następującego warunku zbieżności jednostajnej dla danego w obszarze VC ciągu funkcji (1):

Na to, żeby szereg (1): 1) miał funkcję graniczną i 2) był zbieżny do tej funkcji jednostajnie względem x w obszarze X, potrzeba i wystarcza, żeby dla każdej liczby b > 0 istniał taki wskaźnik N niezależny od x, żeby dla n > N i dowolnego m = 1, 2, 3, ... nierówność

(7)    \fn+_m(x)-f„(x)\ < E

zachodziła dla wszystkich x z VC jednocześnie.

Żądanie to można sformułować krótko tak: zasada zbieżności dla ciągu (1) musi być spełniona jednostajnie dla wszystkich x z X.

Dowód. Warunek jest konieczny. Jeżeli ciąg (1) ma funkcję graniczną f{x) i jest zbieżny do niej jednostajnie w X, to dla danego e > 0 znajdziemy niezależny od x wskaźnik N taki, że dla n > N nierówność

I/.W-/WI <

będzie spełniona dla wszystkich x. Analogicznie

l/.+mto-ZMI < 4 ^£ (m = 1.2. 3,...),

a z tych dwóch nierówności wynika (7).

Warunek jest wystarczający. Niech będzie spełniony warunek podany w twierdzeniu. Wtedy dla dowolnego ustalonego x z X ciąg (1) będzie ciągiem liczbowym, dla którego spełnione jest założenie twierdzenia Bolzano-Cauchy’ego. A więc ciąg ten ma granicę skończoną i tym samym udowodniliśmy istnienie funkcji granicznej f(x) dla ciągu (I).

Teraz, wybierając dowolnie n > N \ x zX będziemy w nierówności (7) zwiększać nie-ograniczenie m (przy stałych n i x). Przechodząc do granicy otrzymujemy

!/(*)-/„(*) | < e .

Stwierdziliśmy więc, że zbieżność f„(x) do f(x) jest jednostajna. Łatwo teraz wysłowić udowodniony warunek dla szeregu funkcyjnego.

Na to, żeby szereg (3) byt zbieżny jednostajnie w obszarze ^CX potrzeba i wystarcza, żeby dla każdej liczby e > 0 istniał taki niezależny od x wskaźnik N, żeby n > r i dowolnego m = = 1, 2, 3, ... nierówność

(8)

n+m

H*(*)|

Jk=n+i

|u_n+1(x) + u_n+2(x) +

+ U_n+m(x)\ < E

była spełniona dla wszystkich x z X jednocześnie.

Stąd w szczególności otrzymamy pożyteczny wniosek:

Jeżeli wszystkie wyrazy szeregu (3) jednostajnie zbieżnego w obszarze X pomnożymy przez tę samą funkcję v (jc) ograniczoną w X:

|u(x)| <M,

to jednostajna zbieżność będzie zachowana.