0392
XII. Ciągi i szeregi funkcyjne
Sprawdzić to na szeregu
otrzymanym przez przestawienie wyrazów szeregu logarytmicznego [porównaj 388, przykład 1)]!
10) Zastosujmy twierdzenie Abela [6°] do dowodu jego twierdzenia o mnożeniu szeregów [392]. Rozpatrzmy dwa szeregi zbieżne
(A) A = £ </.
(B)
i załóżmy, że ich iloczyn (Cauchy'ego)
(C) gdzie c. = alb'+a2b,-l+ ... +<7.6,, jest także zbieżny.
Mamy udowodnić, że
AB = C.
Przede wszystkim ze zbieżności szeregu (A) wynika na podstawie lematu z ustępu 379, że szereg (A*) A (x) = ^ o. x*
■-i
jest zbieżny bezwzględnie dla | jc| < 1, więc promień zbieżności R tego szeregu jest na pewno >1. A więc w każdym razie jest spełniona zależność
CO
lim A (jc) = A = V a.,
a mianowicie dla R = 1 wynika to z twierdzenia 6° Abela, a dla R> 1 z twierdzenia 2° [437]. Gdy analogicznie rozpatrzymy szeregi (dla |x|<l):
(B*) R(x) = J 6.jC,
n—1
<C*) C(x) = c.x",
to dla nich będzie słuszne wszystko to, co powiedzieliśmy o szeregu (A*).
Stosując teraz do zbieżnych bezwzględnie szeregów (A*) i (B*) twierdzenie Cauchy’ego [389], otrzymujemy
A(x)B{x) = C(x).
Pozostaje tylko przejście do granicy dla x -*■ 1— 0, żeby otrzymać szukany wynik:
AB = C.
można otrzymać w następujący
440. Przykłady całkowania szeregów. 1) Sumę szeregu
.-o
sposób:
lim
*-1-0
(*+!)*
x2-x+l
2x—l
= i- ln 2+
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
406 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne To, że otrzymany szereg jest rzeczywiście wszędzie zbieżny, spraw428 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne Te właśnie liczby B, nazywamy liczbami Bernoulliego. Pochodzi to434 XII. Ciągi i szeregi funkcyjneWszystko to wynika bezpośrednio z udowodnionego twierdzenia. Przyj442 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne Analogicznie przenosimy na ten przypadek definicje wielkości456 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne 461. Przykłady. W tym ustępie pokażemy na kilku przykładach, jaki474 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne Po uwzględnieniu poprawek na zaokrąglenie i resztę otrzymujemy n2476 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne Uwaga. Wyjaśnimy na zakończenie, w jaki sposób można wyznaczyć11233 Strona 3 S 3óó XII. Ciągi i szeregi funkcyjne W drugim przypadku wysokość garbów, które przesz364 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne 428. Zbieżność jednostajna i niejednostajna. Przypuśćmy, że366 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne W drugim przypadku wysokość garbów, które przeszkadzają w368 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne 429. Warunek jednostajnej zbieżności. Twierdzenie370 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne Dla liczby ct [429] znajdziemy taki wskaźnik ą, że372 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne Twierdzenie 1. Niech funkcje u„{x) (n = 1,2,3,...) będą określone374 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne 432. Uwaga o zbieżności ąuasi-jednostajnej. Jeżeli szereg funkcyj376 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne Odejmując tę równość wyraz po wyrazie od (11) łatwo otrzymujemy(1378 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne Tutaj J o więc szereg można całkować wyraz za wyrazem, mimo że dl380 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne w którym suma pierwotnego szeregu nie może mieć pochodnej, gdyż j382 (29) XII. Ciągi i szeregi funkcyjnelim/*(x) = C„ (n = 1,2, 3,...), a w pierwszym przypadku ciągwięcej podobnych podstron