0392

394

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

Sprawdzić to na szeregu

otrzymanym przez przestawienie wyrazów szeregu logarytmicznego [porównaj 388, przykład 1)]!

10) Zastosujmy twierdzenie Abela [6°] do dowodu jego twierdzenia o mnożeniu szeregów [392]. Rozpatrzmy dwa szeregi zbieżne

(A)    A = £ </.

* = $>■ H-l

co

c = !>., •—1

(B)

i załóżmy, że ich iloczyn (Cauchy'ego)

(C) gdzie c. = a_lb'+a₂b,-_l+ ... +<7.6,, jest także zbieżny.

Mamy udowodnić, że

AB = C.

Przede wszystkim ze zbieżności szeregu (A) wynika na podstawie lematu z ustępu 379, że szereg (A*)    A (x) = ^ o. x*

■-i

jest zbieżny bezwzględnie dla | jc| < 1, więc promień zbieżności R tego szeregu jest na pewno >1. A więc w każdym razie jest spełniona zależność

CO

lim A (jc) = A = V a.,

a mianowicie dla R = 1 wynika to z twierdzenia 6° Abela, a dla R> 1 z twierdzenia 2° [437]. Gdy analogicznie rozpatrzymy szeregi (dla |x|<l):

(B*)    R(x) = J 6.jC,

n—1

<C*)    C(x) =    c.x",

to dla nich będzie słuszne wszystko to, co powiedzieliśmy o szeregu (A*).

Stosując teraz do zbieżnych bezwzględnie szeregów (A*) i (B*) twierdzenie Cauchy’ego [389], otrzymujemy

A(x)B{x) = C(x).

Pozostaje tylko przejście do granicy dla x -*■ 1— 0, żeby otrzymać szukany wynik:

AB = C.

(-0*

3/i+l

można otrzymać w następujący

440. Przykłady całkowania szeregów. 1) Sumę szeregu

.-o

sposób:

E

•-0

(-1P

3t7+1

lim

*-1-0

CD

£

(-i)’

3/1+1

x^3,+t = lim

x—1-0

X CD

/£<-

1 Yx*-dx

lim f

*-i-o * o

dx

\+x³

lim

*-1-0

(*+!)*

x²-x+l

+ -^r-arctg

+

2x—l

= i- ln 2+

3 A '