0440

442

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

Analogicznie przenosimy na ten przypadek definicje wielkości nieskończenie małych i nieskończenie dużych.

Zauważmy, że teraz nie możemy już mówić o dążeniu ciągu do nieskończoności z określonym znakiem, ponieważ zmiennym zespolonym nie przypisujemy żadnego znaku. Gdy |z„| -*- + oo, to mówimy, że z„ -*■ oo (bez znaku!).

Rozpatrzmy, na przykład, ciąg z„ = z", gdzie z jest liczbą zespoloną. Jeżeli |z| <1, to z„ -*■ 0, a jeżeli |z|> I, to z„ -*■ oo. Łatwo zauważyć, że dla |z| * 1 (lecz z9*1) ciąg nie ma w ogóle granicy.

Wszystkie dowody zasadniczych twierdzeń teorii granic dają się łatwo bezpośrednio przenieść do teorii ciągów o wyrazach zespolonych, przez powtórzenie, prawie dosłownie, poprzednich rozważań, Z drugiej strony, wszystkie twierdzenia całkiem automatycznie przenoszą się na przypadek zmiennej zespolonej na podstawie następującego prostego twierdzenia:

Ciąg liczb zespolonych z„ = x„+y„i dąży do granicy c — a+bi wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg! liczb rzeczywistych x„ i y„ dążą odpowiednio do granic a i b.

Dowód tego twierdzenia otrzymujemy natychmiast z następujących nierówności:

!*'    < k.-f| — /(*« - a)¹+0*. b)^ł <|*„-a|-ł |y„—/>|.

\y.-b\\

A więc badanie ciągu liczb zespolonych można zastąpić badaniem dwóch ciągów liczb rzeczywistych. W szczególności można tą drogą udowodnić dla ciągów liczb zespolonych zasadę zbieżności [39],

Rozpatrzmy teraz szereg nieskończony

][]    c,-ł-c*+ ... +<•„+...

II— I

o wyrazach zespolonych r„ — a„+b„i. Tutaj też nazywamy sumą szeregu granicę sum częściowych

c„=i>.

k- 1

A więc na przykład w przypadku postępu geometrycznego

z’ = l + z+z² + ...    ...

•>0

(gdzie 2 jest liczbą zespoloną różną od I) suma częściowa

1 -z" 1-z ’

skąd widać, że dla |z|<l szereg ma sumę

C =

I

1-z ’ a dla |z| > 1 szereg nie ma skończonej sumy.

Wszystkie zasadnicze pojęcia i twierdzenia ustępów 362, 364 [wraz z ich dowodami] można tu zachować.

Badanie szeregów liczb zespolonych może być sprowadzone do badania dwóch szeregów liczb rzeczywistych na podstawie następującego twierdzenia:

Zbieżność szeregu liczb zespolonych

(C)

£<•« = £ (o.0

«-1 1