0472

474

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

Po uwzględnieniu poprawek na zaokrąglenie i resztę otrzymujemy

n² = 9,86960440108935862

z dokładnością do

1

210¹

Jest to przykład bardzo pouczający, obliczyliśmy za pomocą wzoru Eulera-Madaurina z bardzo dużą dokładnością sumę n² szeregu zbieżnego, posługując się w gruncie rzeczy sumą częściową szeregu rozbieżnego oscylującego wokół liczby 7t². Gdybyśmy chcieli otrzymać to samo, korzystając z samego szeregu zbieżnego, wówczas musielibyśmy wziąć ponad miliard wyrazów szeregu.

468. Inna postać wzoru Eulera-Maclaurina. Wróćmy do wzorów (21) i (21'). lecz załóżmy, że istnieją pochodne wszystkich rzędów funkcji fOc) w przedziale nieskończonym <a, 4- oo) i spełniają warunki:

a)    wszystkie pochodne fⁱ2k>(.z) rzędu parzystego mają w tym przedziale jeden i ten sam znak.

b)    wszystkie pochodnenieparzystego rzędu dążą do 0, gdy z ->- + oo.

Przypuśćmy, że m jest liczbą parzystą, m = 2k. Liczby a i h ustalimy, a b = a+nk uważajmy za zmienne (wraz z n). Przedstawmy teraz resztę R [patrz (21')] w postaci następującej:

OO fc    00 fc

-    J <p₂k(z)f^(lk>(a+ih-z)dz+ y J <Pikf^ilk\a+ih-z)dz =

00 k

IZ¹'

0 o

/ <p_2k(z)f^<2k'(x+h-z) dz+ j- f <p_2k(z)f<^2k\x+h-z) dz .

Łącząc pierwszą z tych sum ze wszystkimi wyrazami wzoru (21) zawierającymi a w jedną stałą

oo fc

h L-iJ

a 0

c_k = -AJ{d)-A₁hf'{d)- ... -A_2k-₂ h^2k-²P^2k-»(a)- 4- V f

wyraźnie niezależną od b, napiszemy wzór (21) tak:

fc    b

(25)

= C*+ ~ f f(x) dx+A,/(b)+A₂ hf'(b)+ ... +A_2k-₂ h^2t-³f^,lk-³⁾(b)+R',

0 0

gdzie

co h    oo k

J?' = -i- ^ J <p₂k(z) f⁽2k>(a+ih—z) dz =    ^ J <p₂l(z)f⁽2k,(b+ih~z) dz =

l-it+1 0    (-1 0

oo fc

= \ s / ^<f>2k^‘^2l‘^^x+/l~^z^^dz •

fc 0

Aby uzasadnić te przekształcenia, wystarczy tylko przekonać się o zbieżności wykorzystanych tu

1 ⁵⁰

szeregów nieskończonych. Zaczniemy od szeregu -r- ^ . Z (24) wynika, że

T Z / 9>zdz)P^2k\a+ih-z) dz

0 <

< 1 .

A_2kh^2k-^llP^2k-^lKa)-P^2k-^l\a+nh)

Z własności funkcji <p_2k(z) [466] wynika po uwzględnieniu a), że wszystkie składniki licznika mają taki sam znak, zgodny ze znakiem mianownika. Stąd, przechodząc do granicy przy n -*■ oo i uwzględniając b), wnioskujemy o zbieżności szeregu

00 fc    00 fc

łSJ Vi_k(z)f^t2k>(x+h—z) dz =    EJ 9>2_k(z)f^,2k)(a+ih—z) dz,