364
XII. Ciągi i szeregi funkcyjne
428. Zbieżność jednostajna i niejednostajna. Przypuśćmy, że równość (2) zachodzi dla wszystkich x z SI'. Z samej definicji granicy wynika: jeżeli tylko ustalimy wartość x z SC (ażeby mieć do czynienia z konkretnym ciągiem liczbowym), to dla dowolnego e > 0 znajdziemy taki wskaźnik N, że dla wszystkich n > N spełniona jest nierówność
(5) |/(x)-/(x)| < c, gdzie przez x rozumiemy właśnie tę ustaloną uprzednio wartość.
Biorąc inną wartość x otrzymamy inny ciąg liczbowy. Dla tego samego e otrzymany wskaźnik N mógłby się okazać nie odpowiedni, musielibyśmy więc zastąpić go większym. Lecz x przebiega nieskończony zbiór wartości, otrzymamy więc również nieskończony zbiór różnych ciągów liczbowych zbieżnych do granicy. Dla każdego z nich z osobna znajdziemy odpowiednie N. Powstaje pytanie: czy istnieje taki wskaźnik N, który (dla danego z góry e) nadawałby się dla wszystkich ciągów jednocześnie?
Pokażemy na przykładach, że w pewnych przypadkach taki wskaźnik N istnieje, w innych zaś nie.
1) Niech najpierw
x
1 + n2x2 ’
lim /„(x) = 0 (0<x<l).
n—w
Ponieważ
0 </n(x)
1 2nx 1 lń ’ l + n2x2 ^ 2iT;
widzimy od razu, że na to by nierówność f„(x) < e była spełniona dla dowolnego x wystarczy przyjąć n > l/2e. Tak więc na przykład liczba N = E (l/2e) w tym przypadku nadaje się dla wszystkich x jednocześnie.
2) Niech będzie teraz [427, 3]:
/»(*) = i ,"rr > lim/»(*) = 0 (0 < x < 1).
li Tl X n-»oo
Dla dowolnego ustalonego x > 0 wystarczy przyjąć n > E( 1/xe), żeby zachodziła nierówność f,(x) < \jnx < e. Z drugiej jednak strony, jakiekolwiek weźmiemy n, zawsze znajdziemy w przedziale <0, 1) taki punkt, a mianowicie x = 1 /«, w którym funkcja f„(x) przyjmuje wartość y [tzn. /,(Ifn) = y]-
Tak więc za cenę zwiększenia n w żaden sposób nie możemy osiągnąć tego, by/„(x) < y dla wszystkich wartości x od 0 do 1 naraz. Innymi słowy już dla e = y nie istnieje taki wskaźnik N, który nadawałby się dla wszystkich x jednocześnie.
Na rysunku 59 pokazane są wykresy tych funkcji dla n = 4 i dla n = 40: charakterystyczny jest garb o wysokości y przesuwający się ze wzrostem n w lewo. Chociaż na każdej prostej pionowej z osobna, punkty ciągu krzywych wraz ze wzrostem n zbliżają się nieogra-niczenie do osi x, żadna krzywa w całości nie przywiera do tej osi na całym odcinku od x = 0 do x — 1.