0362

0362



364


XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

428. Zbieżność jednostajna i niejednostajna. Przypuśćmy, że równość (2) zachodzi dla wszystkich x z SI'. Z samej definicji granicy wynika: jeżeli tylko ustalimy wartość x z SC (ażeby mieć do czynienia z konkretnym ciągiem liczbowym), to dla dowolnego e > 0 znajdziemy taki wskaźnik N, że dla wszystkich n > N spełniona jest nierówność

(5)    |/(x)-/(x)| < c, gdzie przez x rozumiemy właśnie tę ustaloną uprzednio wartość.

Biorąc inną wartość x otrzymamy inny ciąg liczbowy. Dla tego samego e otrzymany wskaźnik N mógłby się okazać nie odpowiedni, musielibyśmy więc zastąpić go większym. Lecz x przebiega nieskończony zbiór wartości, otrzymamy więc również nieskończony zbiór różnych ciągów liczbowych zbieżnych do granicy. Dla każdego z nich z osobna znajdziemy odpowiednie N. Powstaje pytanie: czy istnieje taki wskaźnik N, który (dla danego z góry e) nadawałby się dla wszystkich ciągów jednocześnie?

Pokażemy na przykładach, że w pewnych przypadkach taki wskaźnik N istnieje, w innych zaś nie.

1) Niech najpierw

/„W =


x

1 + n2x2


lim /„(x) = 0    (0<x<l).

n—w


Ponieważ

0 </n(x)


1 2nx 1 lń ’ l + n2x2 ^ 2iT;

widzimy od razu, że na to by nierówność f„(x) < e była spełniona dla dowolnego x wystarczy przyjąć n > l/2e. Tak więc na przykład liczba N = E (l/2e) w tym przypadku nadaje się dla wszystkich x jednocześnie.

2) Niech będzie teraz [427, 3]:

/»(*) = i ,"rr >    lim/»(*) = 0    (0 < x < 1).

li Tl X    n-»oo

Dla dowolnego ustalonego x > 0 wystarczy przyjąć n > E( 1/xe), żeby zachodziła nierówność f,(x) < \jnx < e. Z drugiej jednak strony, jakiekolwiek weźmiemy n, zawsze znajdziemy w przedziale <0, 1) taki punkt, a mianowicie x = 1 /«, w którym funkcja f„(x) przyjmuje wartość y [tzn. /,(Ifn) = y]-

Tak więc za cenę zwiększenia n w żaden sposób nie możemy osiągnąć tego, by/„(x) < y dla wszystkich wartości x od 0 do 1 naraz. Innymi słowy już dla e = y nie istnieje taki wskaźnik N, który nadawałby się dla wszystkich x jednocześnie.

Na rysunku 59 pokazane są wykresy tych funkcji dla n = 4 i dla n = 40: charakterystyczny jest garb o wysokości y przesuwający się ze wzrostem n w lewo. Chociaż na każdej prostej pionowej z osobna, punkty ciągu krzywych wraz ze wzrostem n zbliżają się nieogra-niczenie do osi x, żadna krzywa w całości nie przywiera do tej osi na całym odcinku od x = 0 do x — 1.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
368 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne 429. Warunek jednostajnej zbieżności. Twierdzenie
V.    Ciągi i szeregi funkcyjne 1.    Badanie zbieżności jednostajnej
418 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne jest zbieżny, o czym łatwo możemy się przekonać stosując kryteriu
Strona2 364 X!!. CUg! i szeregi funkcyjne [428 ■128. Zbieżność jednostajna i niejednostajna. P
374 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne 432. Uwaga o zbieżności ąuasi-jednostajnej. Jeżeli szereg funkcyj
388 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne regiem potęgowym (31) w przedziale jego zbieżności, będziemy miel
406 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne To, że otrzymany szereg jest rzeczywiście wszędzie zbieżny, spraw
420 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne szereg ten jest zbieżny dla — 1 <x<. Równość CO £ (2x-x*)m
428 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne Te właśnie liczby B, nazywamy liczbami Bernoulliego. Pochodzi to
62533 MATEMATYKA156 302 VI. Ciągi i szeregi funkcyjne Warunek wystarczający jednostajnej zbieżności
11233 Strona3 S 3óó XII. Ciągi i szeregi funkcyjne W drugim przypadku wysokość garbów, które przesz
366 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne W drugim przypadku wysokość garbów, które przeszkadzają w
370 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne Dla liczby ct [429] znajdziemy taki wskaźnik ą, że
372 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne Twierdzenie 1. Niech funkcje u„{x) (n = 1,2,3,...) będą określone
376 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne Odejmując tę równość wyraz po wyrazie od (11) łatwo otrzymujemy(1

więcej podobnych podstron