0364

366

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

W drugim przypadku wysokość garbów, które przeszkadzają w jednostajnym dążeniu do 0 wzrasta ponadto do nieskończoności.

1

Na przykładach funkcji x” i Nierówności

l + nx

pokażemy jeszcze jeden sposób badania zagadnienia.

Xⁿ < B

1

1 +nx

< e

są równoważne odpowiednio nierównościom

n > i    ń>—(——A (0<x<l; 0 < 6 < 1).

In x    x\bJ

Ponieważ wyrażenia po prawych stronach rosną nieograniczenie, gdy x zbliża się do 1 w przypadku pierwszym, a do 0 w przypadku drugim, więc oczywiście żaden wskaźnik n nie może spełniać tych nierówności dla wszystkich wartości x jednocześnie.

Wszystkie powyższe rozważania o zbieżności funkcji przeniesiemy teraz na przypadek szeregu funkcyjnego (3).

Zakładamy, że szereg jest zbieżny. Rozpatrzmy jego sumę/(x), sumę częściową f„(x) [patrz (4)] i wreszcie jego n-tą resztę

<p»(x) =    «*(*)=/(*)-/■(*)•

Dla dowolnego ustalonego x

lim/„(x) = /(x) i lim <p„(x) = 0 .

u-*»    i»-*co

Jeżeli suma częściowa f_k(x) dąży do sumy /(x) szeregu jednostajnie względem x w obszarze [lub, co na to samo wychodzi, jeżeli reszta szeregu <p„(x) dąży jednostajnie do 0], to mówimy, że szereg (3) jest jednostajnie zbieżny w tym obszarze.

Definicja ta jest oczywiście równoważna z definicją następującą:

Szereg (3) zbieżny dla każdego x z obszaru 9C nazywamy jednostajnie zbieżnym w tym obszarze, jeżeli dla każdej liczby e > 0 istnieje taki niezależny od x wskaźnik N, że dla n > N nierówność

(6)    !/„M-/(x)| < e lub |ę>_n(x)| < 6

jest spełniona jednocześnie dla wszystkich x z 9C (*).

Przykłady szeregów jednostajnie i niejednostajnie zbieżnych można oczywiście tworzyć przez przekształcenie podanych uprzednio przykładów ciągów. Dołączymy do nich kilka nowych przykładów.

(‘) Pojęcie zbieżności jednostajnej szeregu zostało wprowadzone do nauki jednocześnie (w 1848 r.) przez Ph. von Seidela i G. Stokesa, lecz jeszcze przedtem stosował je w swoich wykładach Weierstrass.