0390

392

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

nie zawierąjący już k. W tym przypadku z twierdzenia 4(‘) wynika, że w szeregu (2) możemy dla k -*• oo przejść do granicy wyraz za wyrazem, co prowadzi do szeregu logarytmicznego.

6) Bardzo ciekawym przykładem tego samego rodzaju jest wyprowadzenie szeregu wykładniczego (404, (11)] z zależności

e* — lim ^1 -f    (k= 1,2,3,...).

Rozwijając potęgę dwumianu według wzoru Newtona, dostajemy

(3)    (l+ —) = 1+*- — +    + ... ₊ *(*-!)..Jj^-w-i-l) .    + ...

\ k]    k 1-2 \k;    1-2- ... •n \k /

-^,+ tt⁺if ('- i)⁺ - ⁺ 5 ('" t) - (■-*?-)⁺ "

W rzeczywistości dla każdego k mamy tu tylko skończoną liczbę (= *+1) wyrazów, lecz możemy przyjąć, że mamy szereg nieskończony, jeżeli pozostałe wyrazy przyjmiemy równe 0. Szereg ten jest zbieżny jednostajnie dla wszystkich k, bowiem jak widać szereg zbieżny

,₊ ^Ji ₊ ML₊...₊U11+... ₍* _{= const)}

1!    2!    ni

jest jego majorantą. W tym przypadku zgodnie z twierdzeniem 4 w szeregu (3) można przejść do granicy dla k -*• oo wyraz za wyrazem. Ponieważ (n+l)-szy wyraz tego szeregu jest równy 0, dopóki k>n, a dla wszystkich &>n.ma postać więc jego granicą dla k -*■ oo jest x“/nL A więc tą drogą znów otrzymujemy rozwinięcie funkcji wykładniczej e*.

7) Korzystając ze wzoru Moivre’a wyprowadziliśmy już w ustępie 408 wzór

sin mz = m cos"¹-‘z-sinz—    _cos»-3_z._si_n3_z-|- ...

Pokażemy, że można stąd otrzymać rozwinięcie funkcji sin x w szereg potęgowy.

X    X

Przyjmijmy z — — i wynieśmy cos" — za nawias. Wzór przybierze postać m    tn

sin x = cos"

itg—- (»-—) (i-—) m \ m J \ m J

3!

+ ...

Przyjmując, że x nie zmienia się, przejdźmy po prawej stronie wzoru do granicy, dla m -*■ oo.

X    X

Ponieważ cos"--► 1 [patrz na przykład 79,4) przy X = 0], a m tg--► x, więc w granicy rzeczy-

m    m

wiście otrzymamy szukane rozwinięcie [404, (12)]

jt³

sin x = x---h ...

3!

(‘) Przypominamy, że obszar zmienności 9C zmiennej x, o której mówiliśmy w twierdzeniu 4, może być dowolny, w szczególności może nim być zbiór liczb naturalnych (z tym, że a = + oo).