0462

464

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

Twierdzenie odwrotne nie jest jednak prawdziwe: różne funkcje mogą mieć to samo rozwinięcie asymptotyczne.

Wiadomo na przykład, że e~* xⁿ ->- 0, gdy x -*• oo. Stąd widać oczywiście, że wszystkie funkcje postaci A (x)+ Ce~* mają takie same rozwinięcie asymptotyczne jak funkcja A (x).

Uwaga. Czasem będziemy dla,wygody pisali

50

n— O

gdzie B (*), tp(x)iy> (a) są funkcjami określonymi w X, rozumiejąc przez to, że

B (x) — q> (x) .. V* a. _ yt(x)    Z_i x"

n=»0

464. Podstawowe własności rozwinięć asymptotycznych. Przez rozwinięcia asymptotyczne będziemy zarówno teraz jak i dalej rozumieli rozwinięcia postaci (9) (')• Zakładamy, że wszystkie rozpatrywane funkcje są określone w obszarze X z punktem skupienia + ®.

1° Jeżeli
	CO	CO
(U)		UW ~
	n-0	W-0
to oczywiście także
	A(x)±B(x) ~	V a*±bn Zj X" * *-0

tzn. rozwinięcia asymptotyczne można dodawać i odejmować wyraz za wyrazem.

2° Wykażemy teraz, że rozwinięcie asymptotyczne iloczynu A (x).B (x) można otrzymać przez formalne pomnożenie przez siebie według reguły Cauchy'ego rozwinięć (11).

Dla dowolnego n mamy

A Ot) = 00+^- + -^-+ ... + +o    ')

i

B (*) = b₀+ A. + Ą- + ... + -Jt- +o (-U .

XX²    X*    \ X* /

Mnożąc przez siebie otrzymujemy

A (x)-B(x) = c₀+    + -£l + ... + -Su +₀ ^-L.),

gdzie

Wt

c_m =    a, b_m-,.

1-0

Jest to równoważne z

co

A(x)-B{x)~

■-0

co należało udowodnić.

O Teorię takich szeregów asymptotycznych rozwinął Henri Poincarć, który podał jej ważniejsze zastosowania zarówno w teorii równań różniczkowych, jak też i w mechanice nieba.