0432

434

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

Wszystko to wynika bezpośrednio z udowodnionego twierdzenia. Przyjmując dla uproszczenia x₀ = >'₀ = 0 napiszemy zależność wiążącą y z x wzorując się na (18) w postaci

x = by + c₂ x² + c₃ x³ + c₄ x⁴+ ... (^l) .

Możemy już więc współczynniki szukanego rozwinięcia

x = b_x y+b₂ y² + b₃ y*+ ...

wyznaczyć kolejno z równań b_i = b b₂ = c₂ b² , b₃ = 2c₂ bi b₂ + c₃ b\ , ń₄ = c₂{lbi b₃ + ó§) + 3c3 b\ b₂ + c₄ b\ , b_s = 2c₂(bi b_Ą+b₂ b₃)+3c₃(b² b₃+b₃ ńi)+4c₄ b\ b₂+c_s b\ ,

Znając na przykład rozwinięcie sinusa:

y-sinx = x-i-.vⁱ+-i-x⁵- ...,

możemy znaleźć rozwinięcie

x = arc sin y = y-f-ó₃ ,y³-)-ój y⁵-ł- ...

(piszemy tylko potęgi nieparzyste y, gdyż z uwagi na nieparzystość funkcji y -- sin .v z góry wiadomo, że funkcja odwrotna też będzie nieparzysta). Równania na współczynniki b będą w tym przypadku miały postać:

Inny przykład. Niech

y = e*

, X² , x³ ,

■^Jr+ir⁴‘ir⁺-

skąd

x = ln (1+^) = bi y+b₂y²+b₃ y³+ ... Współczynniki b wyznaczamy po kolei:

bi - 1,

63    — ~b\ b₂ — ~ b\ — —,

O    i

64 —    (2 b_x ** + «>-{«    = -7,

b_s = -(1b_s b₄+b₂ b₃)- ±{b\ b₃*f"b\ bi)-\b\b₂- -^bi - j,

(‘) Należy pamiętać, że tutaj x i y zamieniły swoje role w porównaniu z poprzednim ustępem.