0374

376

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

Odejmując tę równość wyraz po wyrazie od (11) łatwo otrzymujemy

(18)    l/to-CI <|/j(*)—C.l + Wx)| + |y.|.

Z uwagi na zbieżność jednostajną szeregu (3) i zbieżność szeregu (C) dla dowolnego e > 0 można ustalić n tak duże, ażeby dla wszystkich x z 9l zachodziły nierówności

(19)    taOOI < y£ i |y„|<e.

Ponieważ oczywiście

lim/,(x) = lim V u*(x) = V c_k = C„

*-a    x~*a

przeto jeżeli ograniczymy się do przypadku, gdy a jest skończone, to znajdziemy takie ó > 0, że dla |x—a\ < 6 jest spełniona nierówność

(20)    l/«(x) —C„| < e .

Teraz dla wspomnianych wartości x, z uwagi na (IB), (19) i (20), będzie spełniona nierówność

|/(x)-C| < 3e,

co prowadzi do (17) (*).

Równość (17) można napisać w postaci [patrz (16)]

lim V u_n(x) = y {lim u_B(x)}

Tak więc, gdy zbieżność jest jednostajna, granica sumy szeregu jest równa sumie szeregu utworzonego z granic jego wyrazów lub, innymi słowy, w szeregu dopuszczalne jest przejście do granicy wyraz za wyrazem.

434. Całkowanie szeregów wyraz za wyrazem. Rozpatrzmy teraz zagadnienie całkowania sumy szeregu funkcyjnego zbieżnego.

Twierdzenie 5. Jeżeli funkcje w„(x) (n = 1, 2, 3,...) są ciągle w przedziale 9C = <a, 6) i utworzony z nich szereg (3) jest zbieżny jednostajnie w tym przedziale, to całka sumy f (x) szeregu (3) jest równa

b    co b    b    b    b

(21) Jf(x) dx = y J u„(x) dx = J u_l(x)dx+ j u₂(x)dx+ ... + J u„(x) dx + ...

a    n~ 1 a    a    a    a

Dowód. Z uwagi na ciągłość funkcji u„(x) i /(x) [431, twierdzenie 1] jest oczywiste istnienie tych wszystkich całek. Całkując tożsamość

f(x) = «i(x)+m₂(x)+ ... + u_n(x)+<p„(x)

(') Czytelnik rozpoznaje w tym to samo rozumowanie, którego użyliśmy już w dowodzie twierdzenia 1.