11233 Strona3

S

3óó

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

W drugim przypadku wysokość garbów, które przeszkadzają w jednostajnym dążeniu do 0 wzrasta ponadto do nieskończoności.

Na orzvk!adach funkcji x" i —!— pokażemy jeszcze jeden sposób badania zagadnienia.

‘    '    1 +J7JC

Nierówności

i

-< c

1 + nx

są równoważne odpowiednio nierównościom

Ine    .    t /1    \

n > ——    l    /t > —--e.1 ) (0 < x < l ; 0 < 6 < 1).

In x    x \ s )

Ponieważ wyrażenia po prawych stronach rosną nieograniczenie, gdy x zbliża się do i w przypadku pierwszym, a do 0 * przypadku drugim, więc oczywiście żaden wskaźnik n nie może spełniać tych nierówności dia wszystkich wartości x jednocześnie.

Wszystkie powyższe rozważania o zbieżności funkcji przeniesiemy teraz na przypadek szeregu funkcyjnego (3).

Zakładamy, że szereg jest zbieżny. Rozpatrzmy jego sumę f(x), sumę częściową f„(x) [patrz (4)J i wreszcie jego /7-cą resztę

X

k-jrM

Dia dowolnego ustalonego x

lim /„(x) =/(x) i lim = 0.

-«—/>    n — ii

Jeżeii suma częściowa f_n(x) dąży do sumy f(x) szeregu jednostajnie względem x w obszarze .Z Pub, co na to samo wychodzi, jeżeli reszta szeregu <p„(x) dąży jednostajnie do 0], to mówimy, że szereg (3) jest jednostajnie zbieiny w tym obszarze. Definicja ta jest oczywiście równoważna z definicją następującą:

Szereg (3) zbieżny dla każdego x z obszaru Z nazywamy jednostajnie zbieżnym w tym obszarze, jeżeii dla każdej liczby j>0 istnieje taki niezależny od x wskaźnik V, że dla n>iV nierówność

(6)    \fj.x)-f(x)\ < e lub ipj.'x)l<s

jest spełniona jednocześnie dla wszystkich x zZ(^l).

Przykłady szeregów jednostajnie i niejednostajnie zbieżnych można oczywiście tworzyć przez przekształcenie podanych uprzednio przykładów ciągów. Dołączymy do nich kilka r.owych przykładów.

t^:) Pojęue zbieżności jednostajnej szeregu zosuio wprowadzone co nauki jednocześnie Iw !S4£ r.ł przez Pb. *on Scideia i G. Stokesa. 'esz jeszcze przedtem stosował je w swoicii wykładach Weiersuass.

5) Rozpatrzmy szereg geometryczny X x»->. jest on zbieżny w przedziale otwartym łT = f—!. 1).

* " l

Dla dowolnego z 7. £ /i-;a reszta ma postać

l-x

•p»(-0=

Gdy n ustalimy dowolnie, to oczywiście będzie

lira ! p-,(x)l = ■», lim p,Cr)=®

x-*-1 *0    x— l-O

Zarówno jeden jak i drugi wynik dowodzą, że przy tym samym n, dla wszystkich x jednocześnie, nie może być spełńioaa nierówność

lt>,(jr)!<e gdy ec-J-

Zbieżność szeregu geometrycznego w przedziale ( — 1. 1) jest niejednostajna; to samo dotyczy przedziałów (—1, 0} i <0, 1) z osobna.

7) Szereg X ---— jest zbieżnv dla dowolnej wartości x z £=(—co, -i-®), ponieważ spełnione są

i xż+«

założenia twierdzenia Leibniza [3811- Zgodnie z uwaga zrobiona po udowodnieniu tego twierdzenia, bezwzględną wartość reszty szeregu szacuje się za pomocą jej pierwszego wyrazu

1 1 !?»itol<———

Wynika stąd, że szereg jest w całym przedziale nieskończonym £ zbieżny jednostajnie.

3) Analogicznie szereg X--—jest zbieżny jednostajnie w £=(—co, i-®), ponieważ dla xyt0

i (1 -rX²)“

i Pn(jr)l <

r²

.e²    1

i < —.

(l4-.c²}"    ! ~nx¹ —... n

X-

Ciekawe, że wprawdzie szereg bezwzględnych wartości X- jest zbieżny, ale me jednostajnie.

i (1+*²)*

Rzeczywiście jego reszta dla x-£Q

1 —

1

iTz²

(l-rzz)*

dla dowolnego ustalonego i dąży do 1, gdy x-*0.

Uwaga. Jeżeli w przykładzie 2) zamiast odcinka <0,1> rozpatrzymy dowolny odcinek (a, 1), gdzie 0<3<!. to na mm zbieżność będzie już jednostajna. Rzeczywiście dla wszystkich x><z

Ato

t-!-*²*²    l-be²*²

l-taiomtast za dowolnym odcinku (0, a) zbieznosc ,est oczywiście niejednostajna. Tak więc własność mejednostajności zagęszcza się jak gdyby wokół punktu z=ó; nazwiemy ten punkt punktem ruetednosiaj-Mtc:. To samo dotyczy również przykładów 4). S). i 31. Analogiczną rolę odgrywa w przykładzie j) punkt x= i, a w przykładzie •>) oba punkty ;r= — 1, x= t.

W przykładach bardziej złożonych noże występować nieskończenie wrete punktów niejednostajnosci.

1