0378

380

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

w którym suma pierwotnego szeregu nie może mieć pochodnej, gdyż jest nieciągła. W drugim przypadku przeciwnie, różniczkowanie wyraz za wyrazem prowadzi do dobrego wyniku. Przykłady te ilustrują rolę żądania, żeby szereg pochodnych był zbieżny jednostajnie; jest ono istotne, ale nie konieczne.

Twierdzenie 7 można uwolnić od niektórych zbędnych założeń, lecz za cenę pewnego skomplikowanego dowodu.

Twierdzenie 8 .Niech funkcje u_K(x)(n = 1, 2, 3, ...) będą określone w przedziale SC = <a, b)> i mają w nim skończone pochodne u'_n(x). Jeżeli szereg (3) jest zbieżny chociażby w jednym punkcie, na przykład x — a, a szereg (24) utworzony z pochodnych jest zbieżny jednostajnie w całym przedziale SC, to wtedy: 1) szereg (3) jest zbieżny jednostajnie w całym przedziale i 2) jego suma f (x) ma w SC pochodną wyznaczoną przez równość (25).

Dowód. Niech x₀ i x będą różnymi punktami przedziału <a, Z>). Utwórzmy szereg

(26)

S

“,(*)-M.(x₀) x-x₀

Udowodnimy, że dla dowolnie ustalonego x₀ szereg ten jest zbieżny we wszystkich punktach x # x₀ i to jednostajnie względem x.

Obierzmy w tym celu dowolną liczbę e > 0. Z uwagi na zbieżność jednostajną szeregu (24) można dobrać taki wskaźnik N, że dla n > N i m = 1, 2, 3, ... nierówność

(27)

!»+*»

2 ”»w|

< Z

*“ii+l

jest spełniona jednocześnie dla wszystkich wartości x. Ustalmy na chwilę nimi rozpatrzmy funkcję

Jl+M

^u(x)=    u_k(x);

fc-ll+1

bezwzględna wartość jej pochodnej

w+m

U'(x) =    «*(x),

**11+1

jest, z uwagi na (27), zawsze < e. Lecz oczywiście

ir+M

S

**«+!

»„(*)-»_B(x₀) x-x₀

x-x₀

gdzie c jest zawarte między x₀ i x [z twierdzenia Lagrange’a, 112]. Więc ostatecznie dla wszystkich x # x₀ jest

£

k-ił+1

U*(x)-u_n(x₀)

x-x₀

< e.

Ponieważ ta nierówność zachodzi dla każdego m = 1,2, 3, ..., jeżeli tylko n> N, więc tym samym udowodniona została zbieżność jednostajna szeregu (26). Stąd otrzymujemy wszystkie potrzebne wyniki.