0396

398

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

(b) Przepiszmy wyrażenie podcałkowe w postaci    i rozwińmy je w szereg potęgowy:

i>!

który jest zbieżny jednostajnie dla 0<jc<1, gdyż maximum funkcji U ln x\ wynosi 1 le, co łatwo można wykazać korzystając z metod rachunku różniczkowego. Majorantą tego szeregu jest więc szereg

y Wer

Zj rt!

A więc szereg można całkować wyraz za wyrazem. Ponieważ [312,4]

J x"ln"xdx = (-1)*-

₀    (/i+l)’⁺¹ ’

więc ostatecznie

1    00

f x^xdx = y    —.

J    /—i    nf

O    m-1

7) Mieliśmy już [414 (8)] rozwinięcie

^g^-iL-y—²^ (o<^<d.

1+*² Zj (2p+l)H \l+W

arc i

v    v

Przyjmując jr = —i uwzględniając, że arc tg ...... = arc sin y [50] otrzymujemy

arc sin

i/r

(2p)!!

(2p+I)!!

(0 < y < -~r ) ■

yT

Całkujemy tę równość w granicach od 0 do y, przy czym po prawej stronie całkujemy wyraz za wyrazem:

(arc sin y)² = V ^    • ZZL = V    . Zl

2^V " Zj (2/>t1)!! 2p + 2 Zj (2m-l)!! 2m

Wynik ten można napisać tak:

2 (arc sin y)² = V    ——— (2y)^łm.

z—j    (2m)!

m— 1

Dla y = y otrzymujemy

[(m-l)!]²

18 '

(2/«)!

Widzieliśmy już [395 (13), patrz 416], że

Z

a-l

n²

00

Z

n» 1

[(m— l)!]² (2m)!

(²) Dla x * 0 wyrazy szeregu, poczynając od n = 1, zastępujemy wartościami granicznymi, tzn. zerami.