0384

386

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

Jeżeli dla funkcji /(x) otrzymamy rozwinięcie w szereg potęgowy tylko w przedziale otwartym (—R,R):

»T“0

/(*) = jr a* X"

( — R < x < R),

lecz funkcja zachowuje ciągłość, a szereg jest zbieżny także w dowolnym końcu tego przedziału, na przykład dla x = R, to rozwinięcie jest słuszne również i w tym punkcie. Łatwo się o tym przekonać przechodząc w podanej równości do granicy dla x -+ R—0. Jeżeli więc, na przykład, rozwinięcie

ln(l + x) = x-Ą- + -*-- ... +(-l)'"¹ — + ...

li    n

otrzymaliśmy tylko dla — 1 < x < 1, to wiedząc, że szereg

, 1 1

^1_T ⁺ T

jest zbieżny, wnioskujemy, że jego suma jest równa ln 2. Tak samo stwierdzamy słuszność tezy z ustępu 407, że szereg dwumienny

.    m(m — 1) ,    m(m — l)(m—2) ... (m — n + 1) .

l+mx + — V- - x²+ ... + —i-, . . ^;—i-Ł _x»+ ...

1-2    1 -2-3'... •«

ma sumę równą (1 + x)^m również dla x = ±1, jeżeli tylko jest zbieżny.

438. Całkowanie i różniczkowanie szeregów potęgowych. Do szeregów potęgowych zastosujemy teraz twierdzenia z ustępów 434 i 435.

Porównując udowodnione już własności 1° i 5° z twierdzeniem 5 z ustępu 434, otrzymujemy:

7° Szereg potęgowy (31) w przedziale <0, x>, gdzie |x| < R, można zawsze całkować wyraz za wyrazem i

(33)    J'f(x)dx = a₀x+^-x²+^-x³+ ... +-^-x"+ ... o

Wartość x może się tu pokrywać także z jednym z końców przedziału zbieżności, jeżeli w tym końcu szereg (34) jest zbieżny.

Przechodzimy do różniczkowania szeregu potęgowego.

8° Szereg potęgowy (31) wewnątrz swego przedziału zbieżności można różniczkować wyraz za wyrazem, czyli 00

(34)    /'(x) = ^ na_H x^n_1 = a₁+2a₂ x + 3a₃ x²+ ... +na_n x"-‘+ ...

II—1

Twierdzenie to stosuje się również do końca przedziału zbieżności, jeżeli tylko szereg jest zbieżny w tym końcu.