0398

400

(5)

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

10) Rozpatrzmy rozwinięcie (dla |r|<l):

1 4-2 r" ■ cos nx',

l -r²

1 — 2r cos x + r²

które łatwo daje się udowodnić. Wystarczy pomnożyć prawą stronę przez mianownik 1—2/cosjrfr². Otrzymamy:

CD    CO    QO

1 —2r cos jr4-r²4-2 ^ r" cos nx — 2 ^]r" ^{+ 1} • 2 cos nx- cos xĄ-2 ^r"⁺² cos nx .

i    i    i

Jeśli zastąpimy 2cos nxcos x przez cos («-)-1) jr+cos (n—\)x i rozbijemy odpowiednio drugą sumę na dwie, po skróceniu pozostaje tylko 1 — r², co kończy dowód.

00

Ze zbieżności szeregu £ |r|"(dla |r|< I) wynika, że szereg po prawej stronie (5) jest zbieżny jednostajnie względem x w przedziale <— n, tc>. Całkujemy teraz lewą i prawą stronę od —tt do n, przy czym szereg

n

możemy całkować wyraz za wyrazem (twierdzenie 5). Ponieważ f cos nx dx — 0, więc otrzymujemy

/

l-r²

1— 2rcos*-i-r²

dx — 2k

[porównaj 309, 8)].

Analogicznie, mnożąc obie strony tożsamości (5) przez cos mx (m = 1, 2. 3, ...) i całkując wyraz za wyrazem łatwo otrzymujemy

/

cos mx

1 —2r cos x + r²

dx

2n -

l-/'²

Korzystając przy tym ze znanego już wyniku [309,4) (d)]:

?    [0 dla m n,

I cos mx cos nx dx = <

Itt dla m — n.

11) Jeżeli w tożsamości (5) przeniesiemy jedynkę na lewą stronę i podzielimy obie strony przez 2r, to otrzymamy:

} r"“^l cos nx .

n» l

cos x—r I —2r cos jr-i-r²

Tym razem ustalimy dowolnie x i będziemy rozpatrywali r jako zmienną o obszarze zmienności ( -1, 1). Całkujemy obie strony równości względem r od 0 do dowolnego r z tego przedziału, przy czym szereg potęgowy po prawej stronie całkujemy wyraz za wyrazem. Ponieważ po lewej stronie licznik (z dokładnością do czynnika liczbowego) jest pochodną względem r mianownika, więc otrzymujemy

CD

In (I — 2r cos x+r²) = — 2 ^ ^ cos nx (|r| < 1).

1

Teraz z kolei ustalamy r, a przyjmujemy, że * zmienia się od 0 do x. Łatwo można zauważyć, że szereg po prawej stronie jest zbieżny jednostajnie względem x w tym przedziale, więc można go całkować wyraz za wyrazem (twierdzenie 5). Po scałkowaniu otrzymujemy

TC

j In (1—2/* cos jr-f/*²) dx — 0    (|r| < 1)

o

[porównaj 307, 4); 314, 14)]. Stąd, jak już widzieliśmy, łatwo otrzymujemy wartość całki także dla |r|>l