0428

430

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

Korzystąjąc z rozwinięcia (12) dla dostatecznie małych / mamy

^(— lyy-w+o t _ _    f-<.

Zróżniczkujmy oba szeregi wyraz za wyrazem k razy. W przypadku szeregu potęgowego po prawej stronie, korzystamy z twierdzenia 8° z ustępu 438, przy różniczkowaniu szeregu po lewej stronie możemy posłużyć się tym samym twierdzeniem, gdyż szereg ten będzie również szeregiem potęgowym, jeżeli wprowadzimy zmienną x = e~‘. W wyniku otrzymujemy

80 00

^(-l)"(n+l)‘*-<■ + '>' = (-l)*+‘ ^ S£-~}) P", (w— 1) (n —2) ... (ii—k) .

ą»0    »-k+l

Niech t dąży teraz do 0, a więc x do 1. Po lewej stronie otrzymamy jako granicę właśnie szukane 4⁽*>, a po prawej wyraz wolny

(2»*+^1>—1)&+,

*+l

Biorąc pod uwagę, że liczby P ze wskaźnikami nieparzystymi większymi od jedności są wszystkie równe zeru, a liczby /? ze wskaźnikami parzystymi sprowadzają się do liczb Bernoulliego, otrzymujemy ostatecznie wzory

= 0,    = (-i)—» ²t"~¹ B_m (m > 1).

2 m

450. Rozwiązywanie równań za pomocą szeregów. Powróćmy jeszcze raz do wyznaczenia zmiennej y jako funkcji x z równania

(17)    F{x,y) = 0 [porównaj 206 i 442] lecz w innym sformułowaniu:

Załóżmy, że funkcją F (x, y) można w otoczeniu punktu (x₀, y₀) rozwinąć w szereg według potęg x—x₀ i y—y₀ i że wyraz wolny tego szeregu jest równy 0, a współczynnik przy y—y₀ różny od 0 (*). Funkcją y — y{x) określoną równaniem (17) można wtedy w otoczeniu tego samego punktu także rozwinąć w szereg według potęg x—x₀.

Inaczej mówiąc, jeżeli funkcja F, występująca po lewej stronie równania (17), jest analityczna w punkcie (x₀, y₀), to również funkcja y = y (x), określona przez to równanie, będzie analityczna w punkcie x₀-

Tak więc mówimy tu już nie tylko o istnieniu lub obliczeniu wartości szukanej funkcji, lecz także o jej analitycznym przedstawieniu.

Dowód. Nie zmniejszając ogólności rozumowania można przyjąć x₀ — y₀ — 0, co w zasadzie sprowadza się do tego, że jako nowe zmienne obieramy x—x₀ i y—y₀, lecz zachowujemy stare oznaczenia. Jeżeli po wyłączeniu wyrazu z y w pierwszej potędze przeniesiemy go na drugą stronę i podzielimy całe równanie przez jego współczynnik, to dane równanie można będzie napisać tak:

(18)    y = C|₀ x + c₂₀ x² + c_il xy+c₀₂ y² + c₃₀ x³ + c_2l x²y+c_i2 xy² + c₀₃ y³+ ...

C) Odpowiada to dokładnie zwykłym założeniom

F (*o, Jo) =- 0,    F’_x{xo, >o) ^ 0 .