0368

370

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

Dla liczby c_t [429] znajdziemy taki wskaźnik ą, że |M_mi+1(x) + ... + w„(x)| < c_t w 9C dla każdego n > m_t. Następnie, dla liczby c₂ znajdziemy taki wskaźnik m₂ > m_l, że l“_m,+iW+ +w„(x)| < c₂ w 9C dla n > m₂ itd. Grupując teraz wyrazy danego szeregu w sposób następujący:

[tl,(x)+ ... +«„,(*)]+[u„_{1 + 1}(x)+ ... + «_B,₂(x)] + [u_B,_{2 + 1}(x) + ... +M_mj(x)]+ ..., otrzymujemy szereg, którego wyrazy, poczynając od drugiego, są w co do bezwzględnej wartości niewiększe od kolejnych wyrazów danego szeregu liczbowego.

Jeżeli kryterium Weierstrassa dało się zastosować do danego szeregu (3), to szereg ten jest zbieżny bezwzględnie. Co więcej, wraz z szeregiem (3) szereg

(10)    ][V(x)|,

n—1

utworzony z bezwzględnych wartości jego wyrazów, jest zbieżny również jednostajnie.

Możliwe są jednak przypadki, gdy szereg (3) jest zbieżny jednostajnie nie będąc zbieżnym bezwzględnie. Za przykład może służyć szereg 7) z ustępu 428 (że ten szereg nie jest bezwzględnie zbieżny wynika z porównania go z szeregiem harmonicznym). Możliwy jest taki stan rzeczy, że szereg (3) jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie, a szereg (10) mimo to jest zbieżny niejednostajnie, [patrz szereg (8) w 428]. Takich przykładów kryterium Weierstrassa oczywiście nie obejmuje; do ich badania potrzebne są bardziej czułe kryteria. Teraz ustalimy dwa kryteria stosujące się do szeregów postaci 00

(W)    ^ a„(x)• b„(x) = a₁(x)-b₁(x) + a₂(x) ■ b₂(x)+ ... + a_B(x) • Z>„(x)+

gdzie a„(x), b„(x) (n = 1, 2, 3,...) są funkcjami zmiennej x w 9C. Wzorujemy te kryteria na kryteriach Abela i Dirichleta [384] w teorii szeregów liczbowych i będziemy je umownie nazywali nazwiskami tych uczonych.

Kryterium Abela. Niech szereg

00

(B)    ^b„(x) = b_l(x) + b₂(x)+ ... +b_n(x)+ ...

n=l

będzie zbieżny jesnostajme w obszarze 9C, a funkcje a„(x) (dla każdego x) niech tworzą ciąg monofoniczny i są wspólnie ograniczone dla dowolnych x i n:

|a„(x)| < K,

wtedy szereg (W) jest zbieżny jednostajnie w obszarze 9C.

Dowód jest podobny do poprzedniego. Z uwagi na jednostajną zbieżność szeregu (B) wskaźnik N znajdujemy niezależnie od x, powołujemy się przy tym na warunek z ustępu 429 (zamiast kryterium zbieżności). Następnie na podstawie lematu Abela [383] otrzymujemy jak poprzednio (biorąc n > N)

n+m

| ^ a_k(x)‘b_k(x)| ^ £(|a_B+1(x)|+2|a_B+m(x)|) < 3Ke

fc—n+1

od razu dla wszystkich x z 9C. Twierdzenie zostało więc udowodnione.