0418

420

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

szereg ten jest zbieżny dla — 1 <x<\. Równość

CO

£ (2x-x*)^m = 1 + 2jc+3*² + ...

m-0

zachodzi, gdy

1- ]/T< x < 1 .

Ciekawe jest porównanie tego z wynikiem naszych rozważań. Zgodnie z nimi trzeba by zażądać, żeby zachodziła [patrz (7)] nierówność

2 M + M² < 1, czyli 1— j/2 < x < y'2— 1 .

Jak widzieliśmy, otrzymaną równość można w rzeczywistości stosować nawet w znacznie szerszym obszarze.

Tutaj też należy zaznaczyć, że twierdzenie ma dalsze uogólnienia. Niech na przykład dany będzie szereg podwójny

00

<P (y, z) = ^ h_km y^kz^m , zbieżny dla \y\ < p i \z\ < p i dwa szeregi

0°    oo

j =/m = y

a_n xⁿ, z = g (x) = ^ b„ x” ,

m—0    n**0

które są zbieżne dla |x| < R. Wtedy przy założeniu, że |a₀| < p i |Z»₀| < p, funkcję złożoną <p (/(x), g (*)) można rozwinąć w otoczeniu x = 0 w szereg według potęg x. W tym celu zamiast y i z należy podstawić odpowiednie szeregi i po wykonaniu działań podnoszenia do potęgi i mnożenia dokonać redukcji wyrazów podobnych.

447. Przykłady

1) Znaleźć kilka pierwszych wyrazów rozwinięcia funkcji -i- (1+jr)¹'* w szereg według potęg x. Dla |jc| < 1 mamy

(Zadania tego typu są zbliżone do rozpatrywanych już w ustępie 123).

2) Postawmy sobie za zadanie otrzymanie szeregu dwumiennego z szeregów logarytmicznego i wykładniczego.

Dla Ul < 1 i dowolnego a będzie oczywiście

'23    '

+ ...

1-2

2! \    2    3    /

, , ,<*(«— 1) 2 1 1 + ajM--^L-^Lx + ...

1-2