8 (4)

130

7. Ciągi i szeregi funkcyjne

i szereg ten jest zbieżny jednostajnie na (a, by, to

ifda = JJyŚh

a '' *    •»=l'o    •    ‘    ⁹ Ł "    >'■ * -    »

Mówiąc inaczej, jednostajnie zbieżny szereg funkcyjny można całkować wyraz po wyrazie.

Zbieżność jednostajna a różniczkowanie

Jak już widzieliśmy w przykładzie 7.5, zbieżność jednostajna ciągu {/„} nie pociąga za sobą zbieżności punktowej ciągu {f^!„}. Aby ze zbieżności /,-»/ wynikała zbieżność potrzebne są więc jakieś silniejsze założenia.

7.17. TWIERDZENIE. Niech /„ będzie ciągiem funkcji różniczkowąlnych na (a, by takich, że ciąg {/, (x₀)} jest zbieżny dla pewnego punktu x₀ i (a, by. Jeśli ciąg {/ń} jest na ta,b) zbieżny jednostajnie, to także ciąg {/„} jest na (a, by zbieżny jednostajnie do pewnej funkcji f i zachodzi równość

(27)    f'{x) = lim/;(jf) (a < x < b).

Dowód. Niech będzie dana liczba e > i). Niech N będzie takie, aby z n 5* N,m > N wynikało, że

(28) .

oraz

(29)    ‘ f/; (t)~Ą Ig <    HJ ^ t < b).

2(b-a)

Jeśli do funkcji f,~f_m zastosujemy twierdzenie 5.19 o wartości średniej, to dzięki (29) otrzymamy

(30)    -    -    ’ tfM-fAmm+fM <    < f

dla dowolnych wartości x i t z przedziału (a, by i n > N, m > N. Z nierówności \Ux)-fn,(x)I < l/»(x)-/_m(x)—fń(x₀)+f_M(x₀)|+1/.(x₀)-/_n(x₀)| wynika, na mocy (28) i (30), że

l/«W~/« (x){ < e (a < x < M >N,m>N) i wobec tego ciąg (X } jest zbieżny jednostajnie na <e, ó>. Niech /(*) = Iimjfc(x)^?- ■•(«:< x < ó).

Ustalm

5P|

przy a | (32) 3 ?

Z pierwi

i wobec i więc na i

g§||

jednostaj

Stosu.

ale to na: Uwaj krótszy d twierdzeń

7.18. ^r! jest ciągła| Dowó

(34) ' ą

i rozszerza

(35)    '

Wtedy

(36)

i w szczegół

mm

Ponieważ 0 na R^t. Z twi Ustalmy

9»

(38)