0575

577

8 1. Teoria elementarna

Szereg ten w przedziale <0, 1 > jest zbieżny jednostajnie. Otrzymujemy teraz

£

f xdx y (2/i-D!! r *²’^rl _dx

J    Z_i 2/i!!(2#i+1) J j/TITT

O "    R«1    O "

Ponieważ

r x^u+t o V¹-*¹

tc/a

dx

J* sin^2,+1ę></ę> =

2<i!!

(2n+l)!! ’

wiec ostatecznie

1

(2n+l)²

Z

*-1

1

(2n—l)² ‘

Stąd łatwo już jest otrzymać dowodzoną równość.

5) Pokazać, że metodą Łobaczewskiego, za pomocą której w zadaniach 14) i 15) z ustępu 497 wyprowadziliśmy wzory

oo    _    ni 2    »    jo/z

/    f(x)dx,    f(x)dx,

O    0    0    o

można stosować także wówczas, gdy całka funkcji f(x) w przedziale <0, n/2> jest niewłaściwa (i przy tym spełnione są pozostałe warunki).

Za pomocą tych wzorów obliczamy np. następujące całki:

(a)

f In |sin jc| -    </x ** I ln sin x </jc « — — In 2 ;

J    x    ^J    2

nn

(b)

/In |cos jt| j_x f In |cos jc| sin²* j_{x m} f In cos * j_x x²    J sin²*    x²    J sin²*

7T

2

(całkujemy przez części);

00    Jt/i

(O    f    f JaLsssjL_dv=l__nln2

J x²    J sin²jc

o    o

(całkujemy przez części).

6) Stwierdzić bezpośrednio, że dla całek (y>0)

o/

2*y²

(_JC²+y²)²

dx,

*'^rdx

przejście graniczne przy y -*■ 0 nie może być wniesione pod znak całki. Sprawdzić, że założenia twierdzenia 2 nie są spełnione.

7) Zastosujemy regułę Leibniza obliczania pochodnej względem parametru do całki

m t

Ha) — J In (a²—sin²0) dO

(a > 1).

O

97 Rgphnnpk rMnippIrnunr