1. Zbieżność szeregu
Mówimy, że szereg jest zbieżny, jeżeli szereg sum częściowych jest zbieżny. Dla ciągu geometrycznego:
a„ = a}q ,n = 1,2... suma częściowa S} = tf, + alq + ... + a]q>
i-q
lim?'
0-|9|<l
\...q=\
nie.istnieje...q < 1 + co...q > 1
2. Tw. Warunek konieczny zbieżności szeregów
co
Jeżeli 2] an jest zbieżny, to rzeczywiście
»* 1 n->ao
=(a, +«2 + - + «*-i +a»)-(«i +a2 + =
w—>«> n—»co
Przez kontrapozycję otrzymujemy, że jeżeli wyraz ogólny szeregu nie dąży do 0, to szereg jest rozbieżny.
3. Kryterium całkowe zbieżności szeregu
co
Niech będzie dany szereg a„ oraz funkcja/: (l;oo) -» R, taka że f(n) = anoraz f(x) maleje dla
n-\
x e< l;oo). y'ja„ jest zbieżny <=> j/(x)źt jest zbieżny. J/(x)żt HSa J/(x)ix:. Jeżeli J"/(x)ix: < 00, to »=i 1 2 »=i 1 1
jest ograniczony oraz «Sn =./jest rosnący, czyli szereg jest zbieżny.
4. Kryterium porównawcze zbieżności szeregu
Jeżeli dla dwóch szeregów: ^an i , an>0/\bn>0 od pewnego miejsca począwszy zachodzą
n=1 nm\
nierówności n> N,a„ <bn, to ze zbieżności ^bn wynika zbieżność ^ an , jeżeli zaś (nie zachodzi
00 00
równocześnie) 'S\an jest rozbieżny, to ^ bn też jest rozbieżny.
w=l n* 1
5. Kryterium porównawcze postaci limesowej
co <0
Jeżeli dla szeregu ^jan , ^bn, an,bn> 0 istnieje granica 4im“ = 85 0<g<+oo, to oba szeregi są
n=1 »=1 n-»eo
jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.
6. Kryterium Cauchyego, Kryterium D^lemberta.
00
Jeżeli dla szeregu Ta,,, an > 0 istnieje granica:
«=i
a) = 8 " kryterium Cauchyego
M—>00
b) lim—= 8 - kryterium D’Alemberta
n->oo
g < 1 ...zbieżbi to gdy: g > \ ...rozbieżoz
g = 1...niewiadomo
7. Def. Zbieżności bezwzględnej
00
Mówimy, że szereg jest zbieżny bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg: / \a„\
n=\
Stwierdzenie: jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie to jest zbieżny.
8. Def. zbieżności warunkowej