78213

V. Szeregi liczbowe

2. Suma szeregu

Definicja 5. Szereg (2) nazywamy zbieżnym. jeżeli ciąg sum częściowych (S„) jest zbieżny do liczby 5. Piszemy wówczas

00

0i+02 + ... + 0n + ... = 5 lub y a_n - S.

n= 1

Liczbę 5 nazywamy sumą szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym.

Przykład 1. Na podstawie definicji wykażemy, że szereg

OO    j

^ n(n + 1)

n=l '

jest zbieżny.

Po pierwsze n-ta suma częściowa danego szeregu jest równa

₀ 11 1

1*2 ⁺ 2-3⁺ " ⁺n(n + l)*

Zauważmy, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi tożsamość

1 1    1

n(n + l) n n+l’

(\	1\ ,	r^1l\	/I	1\	/I 1 >	, 1
(i	— 2/ ^+	l2-3) ^+	13	-?) ^+ -	^+ (n n+l)	^1 n + l’

zatem

skąd

lim S_n — lim (l--— 1.

n—oo    n—oo \ H + 1 /

A więc podany szereg jest zbieżny i jego suma jest równa 1. co zapisujemy

⁰⁰    i

y—!— = i.

Przykład 2. Pokażemy, że szereg

^(v/n + 1 - y/ń) n=l

jest rozbieżny.

Zauważmy, że n-ta suma częściowa tego szeregu jest równa

5„ = (- >/l) + (v/3 - v/2) + (n/4 - 73) + ... + (v^TTT - y/n) = -1 + y/^TT,

zatem

lim S„ — liin (-1 + \/n + 1) = -foo,

n—oo    n—oo

co oznacza, że podany szereg jest rozbieżny.

Okazuje się, że każdy szereg zbieżny musi spełniać pewnien prosty do sprawdzenia warunek. Twierdzenie 1 (warunek konieczny zbieżności szeregu). Jeżeli szereg

n=l

jest zbieżny, to

lim a_n = 0.

n—oo

3G