012 8

Jeśli ciąg sum częściowych szeregu geometrycznego nie ma granicy właściwej, to mówimy, że szereg geometryczny jest rozbieżny.

Przykład 5

Oblicz sumę szeregu geometrycznego: l + | + | + ^- + ...

Zauważmy, że q = Wyznaczamy n-tą sumę częściową tego szeregu:

Badamy granicę:

lim S_n = lim (—2 + 2 • (|)ⁿ) = oo

n—>oo    n—>oo ^v    \ £ i /

Zatem szereg jest rozbieżny do oo.

TWIERDZENIE_

Szereg geometryczny o pierwszym wyrazie a\ 0 i ilorazie q jest zbieżny, gdy |g| < 1 i rozbieżny, gdy \q\ > 1.

Uwaga. Jeśli a\ — 0, to szereg ma postać 0 + 0 + 0 +... Jego suma jest równa 0. Ćwiczenie 5

Dla jakich wartości x szereg geometryczny jest zbieżny?

X + 2x² + 4x^s + 8.T⁴ + . . .

1 — X + X² ~ X⁶ + . . .

Przykład 6

Rozwiąż równanie:

8 + 8(.x 4- 1) + 8(.t + 1)" + ... — —x²

8

Iloraz szeregu geometrycznego 8 + 8(# + l) + 8(.r + l)²-K .. jest równy q = x+l. szereg jest zbieżny, gdy |ar+ 1| < 1, czyli dla x € (—2;0). Równanie przybiera wówczas postać:

2 korzystamy ze wzoru

JS    q _ n -i

“ ~l

l-(l+ar)

1 :> przekształceniu ostatniego równania otrzymujemy x^d = 8, czyli x — 2. Ale _ i (—2; 0), co oznacza, że równanie jest sprzeczne.

Ćwiczenie 6

Rozwiąż równanie.

x — x² + x³ — x⁴ + ... = 2x — 1 b) 1 + ^x + -x² -f + ... = ! + -

'    2    4    8    x

4.18. Szereg geometryczny 249