43 9

Twierdzenie 3. Szereg o wyrazach nieujenmych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego ciąg sum częściowych jest ograniczony.

Twierdzenie 4 (kryterium porównawcze zfcreżności szeregów). Niech X

n=l

oo    i^tfŁ

X b_n będą szeregami liczbowymi oraz niech N € N .hęriaie takie, że

n=l

0<a„<6_ndla n> N

OO    oo

1.    Jeśli szreg £ K jest zbieżny, to szereg Z, o, jest zbieżny.

tv=1    n=l

oo    oo

2.    Jeśli szreg X jest rozbieżny, to szereg X) bn jest rozbieżny.

n=l    n=l

oo    oo

WNIOSEK: Niech X Oni X bn będą szeregami liczbowymi o wyrazach

n=l    n=l

dodatnich takimi, że istnieje N 6 N, że

<*n+l    bn+1

On    *n

oo    oo

1.    Jeśli szreg X bn jest zbieżny, to szereg X °» jest zbieżny.

n=l    n=l

oo    oo

2.    Jeśli szreg X °n jest rozbieżny, to szereg X bn jest rozbieżny.

n=l    n=l

oo    oo

Twierdzenie 5 (kryterium graniczne). Niech X «»> X b_n będą takimi sze-

n=l    «=1

regami,że On> 0, b_n > 0 dla n € N. Załóżmy, że istnieje granica

K= lim p »—*o° bn

oo    oo

1.    Jeśli K < +oo i szereg X b_n jest zbieżny, to szereg X ®» jest zbieżny.

n=l    n=l

oo    oo

2.    Jeśli K > 0 i szereg X bn jest rozbieżny, to szereg X °n jest rozbieżny.

n=l    n=l

Twierdzenie 6 (o zagęszczaniu). Niech (an)£Li będzie ciągiem malejącym o

oo

wyrazach nieujemnych. Wówczas szereg X ®« jest zbieżny wtedy i tylko wtedy,

n=l

oo

gdy zbieżny jest szereg X 2ⁿa2»

Definicja 6 (szeregu harmonicznego). Szereg X nazywamy harmonicznym

n=l

rzędu a

oo

WNIOSEK: Szereg X i jest zbieżny, gdy a > 1 i rozbieżny, gdy a < 1

n=l

Twierdzenie 7 (kryterium Dirichleta). Niech (o*)^, (h*)^ będą ciągami. Jeśli

3