CCI00007

Szeregi (lista 2)

1. Znaleźć ciąg sum częściowych i następnie na podstawie def. znaleźć sumę szeregów

.^d)I^bT.^e)Ż'"-7T-

"'" + 2) tt 1

•» S i «a? ■

Odpowiedzi: a) 5 = 2 - 2

v3y

, 5 = 2; b) 5 = -3 + 3

fĄ\ⁿ

Jy

1

, 5 = oo, b) S„=— 1

2 y 2/7 +1 j

^s4^d)S-4

V

i₊i—i—

2 Tl 4-1    /? 4" 2

¹ \s = |,e)S„=-ln(« + l),5 = -ao.

y

2. Na podstawie kryterium d’Alamberta zbadać zbieżność szeregów

»    2²ⁿ⁺¹    v-2”+3” .A 2¹”"²    _A,^n\    , A(«!)¹    ~v3²ⁿ«!

“ §(2n-l)^! ’    5" + 4" ’^C)l-(2n + l)!’^d)    ^ 5 (2«)! ’ ⁰ 5 2” n" ’

Er^sin^r >^h) Ż

n=1

3

n=l

2

Odpowiedzi: Jeśli / = lim

a

«+i

Al—>00

n

3

, to a)    l - 4,szereg rozbieżny; b) = — , szereg zbieżny;

i

i

c) / = O, szereg zbieżny ; d) / = — , szereg zbieżny; e) / = —, szereg zbieżny ; f) l

e    4

szereg rozbieżny; g) l = —, szereg zbieżny ;h) = —, szereg zbieżny.

3    2

9

2e ’

la podstawie kryterium Cauchy ⁰⁰ 2¹"(« + l)” ,, "    • '*'³"

y

£1 (2o -1)

^<n+2r„c)ś4,d)y

oo

5(2«^J + 4)

(« + 2f

n=l (3« + 1)

„ 1

arccos

„=i    n

1

00

Z

Al

Odpowiedzi: Jeśli / = lim ^4, to a) 1 = 2 , szereg rozbieżny; b) / =    , szereg zbieżny;

n—>oo

co    11

Odpowiedzi: Jeśli I_t = j /(jc)<ir , gdzie f(n) = a_n, = 1 lub i = 2 ,to a) /j = — ln j,

m

l

2

zbieżny ; b) /j = oo, szereg rozbieżny, c) /₂ = co, szereg rozbieżny, d) l₂ = ^-(ln2 +1),szereg

zbieżny ; e) /₂ = °o , szereg rozbieżny; f) /, = oo, szereg rozbieżny;

1    ^    A' _j_ ^

g) /j =---arctg—,szereg zbieżny; h) /j = ln-r=—,szereg zbieżny.

4 2    2    V2 — 1

4. Na podstawie kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów:

oc

a) Z

1

00

+2n

>b)X

n +1

\ V"² Inn    ^ Inn ^ 1    r*. y n

’^C S n    Ś n² ,C §nln«’ 5«¹+l’

00

g) Z

i

00

+2n + 5

>^h>Z

1

^fWn + 1

1

e    2

2

   #

c) / = - , szereg zbieżny; d) / = O, szereg zbieżny; e) / = —, szereg rozbieżny.

3

4. Na podstawie kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów: