6830718839

4.1 Szeregi o wyrazach dodatnich

Ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach dodatnich jest ciągiem rosnącym, a więc do wykazania zbieżności szeregu wystarczy wykazać ograniczoność jego ciągu sum częściowych (twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego i ograniczonego).

Twierdzenie 4.2 (Kryterium porównawcze zbieżności i rozbieżności szeregów)

1.    Jeśli (Vn E J\f) 0 < x_n < a_n i szereg liczbowy 52 a_n jest zbieżny, to szereg jest zbieżny.

2.    Jeśli (Vn 6 J\f) 0 < b_n < X_n i szereg liczbowy 52 K. rozbieżny, to szereg 52 $n jest rozbieżny.

Dowód:

m

1.    Ciąg T_n = 52 ^xi jest niemalęjący. Dla każdego n zachodzą nierówności

i 1

n    n    po

J-n )    ^ ^    ^ ) ) O-i

i=1    i=1    i-1

oo

Ciąg T_n jako niemaląjąey i ograniczony / góry jest zbieżny, czyli szereg 52 •<’»

» i

jest zbieżny.

n    n

2.    Dla każdego n mamy nierówność 52 h ^ 52    ■ Jeśli zbieżny byłby szereg

«=I    i=i

52^xi • to na podstawie pierwszej części twierdzenia (już udowodnionej) byłby zbieżny również szereg 52 h wbrew naszemu założeniu.

Przykład 4.5 (rozbieżność szeregu harmonicznego)

3CJ .

Szereg postaci 52 ~ nazywamy szeregiem harmonicznym.

n t

Wiadomo, że

(V n E J\F) ^1 -ł- ^    < a & (V n E M) ln ^    ^

PO . /    V

Szereg 52 ln(l + jest rozbieżny (przykład Ą.S), więc na, mocy kryterium porów-

n 1    ^    ’

nawczego szereg harmoniczny 52 ^ leż jest, rozbieżny.

n=i ⁷

Przykład 4.6

1. Szereg Y2 dj jest zbieżny.

tt=l

13