0264

266

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

jest spełniona dla każdego p (zasada zbieżności). Za liczbę L występującą w lemacie można zatem przyjąć e. Mamy wówczas dla n > N, m = 1,2,3,...,

n+w

| a_k b_kj < a(|a₍₁+i|+2 K+J) < 3Ke,

k-n+l

to dowodzi zbieżności szeregu (W).

Przy założeniach Dirichleta można dla danego c > 0 znaleźć taki numer N, że dla

n > N będzie

|a«l < £ •

Ponadto jest oczywiście

l*n+i + ^«+2+ ••• + b_n+_p\ = \B_h+_p—B„\ <2M i można w lemacie przyjąć L = 2M. Wówczas dla n > N i m — 1, 2, 3,... jest

n-ł-m

j a_k ó*j < 2M (|a„₊₁+2 |a_B+J) < 6Me

Jk—iri-l

i zbieżność szeregu (W) jest udowodniona.

Uwaga. Kryterium Abela wynika z kryterium Dirichleta. Z założeń Abela wynika przecież, że ciąg {«„} ma skończoną granicę a. Jeśli przepiszemy szereg (W) w postaci sumy dwóch szeregów

00    00

(a„-a) b_n+a^b_n ,

n—1    n» 1

to drugi z tych szeregów będzie zbieżny z założenia, a do pierwszego można zastosować kryterium Dirichleta.

385. Przykłady. 1) Jeśli a. monotonicznie maleje i dąży do zera, a b„ = (— l)*^-1, to założenia twierdzenia Dirichleta są oczywiście spełnione, a zatem szereg

(—    = fli-a₂+a₃- ... +(-l)*-‘o.+ ...

B —ł

jest zbieżny. Tak więc twierdzenie Leibniza otrzymuje się jako szczególny wniosek z twierdzenia Dirichleta.

2) Przy tych samych założeniach o a. rozpatrzmy szeregi

CO    00

y a_n sin nx, ^ a„ cos nx ,

*-»    n-l

{x — dowolne).

Podstawiając a — 0 i h = x do tożsamości (1) i (2) z ustępu 307, które tam zostały wyprowadzone w innym celu, otrzymujemy

»    cos-i-*—cos (n+ y) ^x

y sin ix = —    ^2    2

2 sin—a:

2

y cos ix =

i-i

sin («+ y) x—sin y x

2 sin 4- x 2