0222

224

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

364. Podstawowe twierdzenia. Jeśli w szeregu (2) odrzucimy pierwszych m wyrazów* to otrzymamy szereg

00

(5)    flm+l + flm+2+ +tf_m+*+ ••• = 'S' a_n , zwany resztą szeregu (2) po odrzuceniu m wyrazów, lub krócej: m-tą resztą.

1° Jeżeli szereg (2) jest zbieżny, to jest też zbieżna każda z jego reszt (5). Na odwrót, ze zbieżności jednej z reszt (5) wynika zbieżność szeregu wyjściowego (2).

Ustalmy m i oznaczmy k-tą sumę częściową szeregu (5) przez A'_k

A'k — a_m+l+ 0m+2+ ••• + 0m+k •

Wówczas jest oczywiście

(6)    A'_k = A_m+k-A_m .

Jeśli szereg (2) jest zbieżny, a więc A„ -+ A, to przy nieograniczonym wzrastaniu k istnieje skończona granica

(7)    A' = A-A_m

ciągu {/i*}, a to oznacza zbieżność szeregu (5).

Na odwrót, jeżeli jest zbieżny szereg (5) czyli A_k~* A', to przyjmując k = n—m (dla n > m) napiszmy równość (6) w postaci

A_k ⁼ A_m+A„+_m .

Stąd widać łatwo, że gdy n rośnie nieograniczenie, sumy częściowe A„ dążą do granicy

(8)    A = A_m + A’, tzn. szereg (2) jest zbieżny.

Innymi słowy, odrzucenie skończonej liczby początkowych wyrazów szeregu lub dołączenie na początku skończonej liczby nowych wyrazów nie odbija się na zbieżności szeregu.

Sumę szeregu (5), jeśli szereg jest zbieżny, oznaczymy symbolem a„, gdzie wskaźnik podaje, którą resztę bierzemy. Wówczas wzory (8) i (7) przybiorą postać

(9)    A — A_m+a_m, oc_m — A—A_m .

Jeśli m rośnie do nieskończoności, to A_m -* A i -> 0, tak więc:

2° Jeżeli szereg (2) jest zbieżny, to suma a_m jego reszty po odrzuceniu m wyrazów dąży do zera ze wzrostem m.

Wspomnimy jeszcze o następujących prostych własnościach szeregów zbieżnych:

3° Jeśli wszystkie wyrazy szeregu zbieżnego (2) pomnożymy przez ten sam czynnik c, to zbieżność szeregu zostanie zachowana, a suma ulegnie pomnożeniu przez c.

Rzeczywiście, suma częściowa A* szeregu

ca_l-hca₂+ ... +cfl*+ ...