0246

248

Xi. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

i) y—⁵— (<r>0). iJri/Hn¹⁴"/!

1

W tym przypadku /(*) =    in*-**'* ' wyrażenie

f<^eM)^e’ = 'P.-frL-.O, gdy

f(x) x^a

X

00 ,

a więc dla dostatecznie dużych x będzie ono mniejsze od dowolnego ułamka właściwego q — szereg jest zbieżny.

i

n- In u - ln ln »

Tutaj f(x) —

x- In x- In In a^-

, a wyrażenie

— ln ln x -*■ oo, gdy x -* oo ,

/(*)

dla dostateczn ie dużych x przewyższa 1 — szereg jest rozbieżny.

3)2'

„n win n-(|n In n)^,+a Tym razem jest f(x) —

(a > 0) . 1

Af-ln Jt’(ln lnAr)^,'^H, ’

npj_L={Injjl^^o,    gdy a^oo;

/W    ln®A:

szereg jest zbieżny.

Zauważmy na zakończenie, że funkcję e* występującą w kryterium Jermakowa można zastąpić dowolną inną funkcją <p (x) o ciągłej pochodnej, monofonicznie rosnącą, dodatnią i spełniającą nierówność (12*)    q>( x)>x,

która to nierówność zastępuje (12). Dowód można skopiować z dowodu podanego wyżej. Tak więc w postaci ogólnej kryterium Jermakowa jest źródłem różnych konkretnych kryteriów odpowiadających różnemu wyborowi funkcji <p (x).

375. Uzupełnienia. 1) Skorzystamy z oszacowań (11), aby scharakteryzować zachowanie się funkcji Riemanna [365, 2)]

C(l+<r) =

s

1

n

i+*

(określonej tylko dla <r>0), gdy o zbliża się do zera.

Przede wszystkim, podstawiając n — 0 do pierwszej z nierówności (II), a u = 1 do drugiej, otrzy mujemy

1 < o- f(l-ł-c) < l-f<T,

skąd

lim a-i (l+<x) = 1 .