0254

256

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

Przechodząc do granicy w tej równości dochodzimy na nowo do wniosku, że szereg (A) jest zbieżny i okazuje się, że jego suma wynosi

(3)    A = P-Q.

Można powiedzieć, że przy naszych założeniach suma danego szeregu jest równa różnicy sumy szeregu utworzonego z samych tylko wyrazów dodatnich i sumy szeregu utworzonego z wartości bezwzględnych wyrazów ujemnych. Będziemy z tego w przyszłości korzystać.

Jeżeli szereg (A) jest zbieżny wraz z szeregiem (A*) utworzonym z wartości bezwzględnych jego wyrazów, to mówimy, że szereg (A) jest bezwzględnie (albo absolutnie) zbieżny. Na mocy udowodnionego twierdzenia dla bezwzględnej zbieżności szeregu (A) wystarcza sama tylko zbieżność szeregu (A*).

Jak zobaczymy niżej, są możliwe przypadki, kiedy szereg (A) jest zbieżny, a szereg (A*) nie jest zbieżny. Wtedy szereg (A) nazywa się warunkowo zbieżny.

Dla stwierdzenia bezwzględnej zbieżności szeregu (A) można zastosować do dodatniego szeregu (A*) wszystkie kryteria zbieżności zbadane w poprzednim paragrafie. Trzeba jednak być ostrożnym z kryteriami rozbieżności. Jeśli się nawet okaże, że szereg (A*) jest rozbieżny, to szereg (A) może być mimo to zbieżny (warunkowo). Wyjątek stanowią tylko kryteria Cauchy’ego i d'Alemberta, a to dlatego, że gdy stwierdzają one rozbieżność szeregu (A*), to oznacza to, że wyraz ogólny |a„| szeregu (A*) nie dąży do zera ('), a wówczas także a„ nie dąży do zera, a więc szereg (A) jest także rozbieżny. Dlatego wspomniane kryteria można wysłowić dla dowolnych szeregów. Postąpimy tak na przykład z kryterium d’Alemberta, najczęściej stosowanym w praktyce.

Kryterium d’Alemberta. Niech ciąg o wyrazie

K+i!

ma granicę

= lim <2£ ■

Wówczas jeżeli ^c2>* < 1, to szereg (A) jęst zbieżny bezwzględnie, jeśli zaś ‘D* > 1, to szereg (A) jest rozbieżny.

378. Przykłady. I) Zastosujemy kryterium cTAlemberta do wszystkich szeregów (a)—(e),.o których mówiliśmy w 2) w ustępie 370, odrzucając jednak żądanie jr>0. Dojdziemy do wniosku, że:

(a)    szereg jest bezwzględnie zbieżny dla wszystkich wartości ,r;

(b)    szereg jest bezwzględnie zbieżny dla — 1 <jr<l i rozbieżny dla x > 1 oraz .r < — I (dla x = = ±1 nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności):

(c)    szereg jest bezwględnie zbieżny dla — l<jr<l i rozbieżny dla *>1 lub *< — 1. Jeśli i>l o dla .v = ±1 szereg jest także bezwzględnie zbieżny, jeśli zaś 0-0 < I, to dla x =■ 1 szereg jest na pewno rozbieżny, a dla i = —1 zagadnienie pozostawiamy na razie otwarte;

(d)    szereg jest bezwzględnie zbieżny dla —e<x<e i rozbieżny dla x > e lub x < —e (dla x = ±e nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności);

(e)    szereg jest bezwzględnie zbieżny dla — — <.v<— i rozbieżny dla x >— lub x<—— (dla

e    e    e    e

x ---— zagadnienie pozostaje na razie otwarte).

e

(') Patrz odnośnik na str. 274.