0308

310

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

Ponieważ stosunek (n+l)-gp wyrazu tego ciągu do poprzedniego wynosi

(-i)'

zadanie to można przedstawić w formie równoważnej: znaleźć wartość iloczynu nieskończonego

ł/7

K)‘

Logarytmując otrzymujemy [125, S>]

'»(■⁺7) - ■ - * [ł - -k-+° (^)i - ■ - - i⁺” (7) •

a więc szereg logarytmów typu (5) jest rozbieżny i ma sumą — 00. W takim razie (7°) wartość iloczynu nieskończonego, a wraz z nim także szukana granica, jest równa 0. Szereg jest zbieżny.

8) Dokończymy badanie zachowania się szeregu hipergeometrycznego

F(<x 8 v x) — 1 +    «•(«+!)... (a + n—l)-/?-(ft+l)- ... -(fi+n— 1) ^

Z-i    n! y(y+l)... (y+n— 1)

>*1

[patrz 372 i 378, 4)] dla x = — 1 przy założeniu, że — 1 < y—<x—fi < 0 (ten właśnie przypadek pozostał nie zbadany).

Stosunek (n+l)-szego współczynnika do n-tego wynosi tu

OD

(« + *)(/?+*) ₌ ^ y-a-p+l ₊J_{Ł (}|_AJ<i). (1 + fl) (y+n)    n    n¹

Dla dostatecznie dużych n stosunek ten jest dodatni. Niech będzie y—fi—«> — 1. Wówczas stosunek ten stąje się wreszcie mniejszy od 1. Wobec tego wyrazy szeregu

(12)

1+ V ( n« « («+l) ... (tx + n-l)-P (0+l) ... (/?+/»-!)

»!y(y+l)...(y + n-l)

z wyjątkiem skończonej liczby początkowych, zmieniają po kolei znak i maleją monofonicznie co do bezwzględnej wartości. Także i tutaj znajdowanie granicy bezwzględnej wartości wyrazu ogólnego szeregu wygodnie jest sprowadzić do obliczenia iloczynu nieskończonego

CO

n

(<* + «) (ft+Jl) ,,, (l+n)(y+/i)

Jeżeli y—<*—/}> — 1, jak to założyliśmy, to z (11) na mocy 7° wynika, że iloczyn ten ma wartość 0 i szereg jest zbieżny.

W przypadku gdy y—a—8 = —1, wzór (11) przybiera postać

(at+ »)(/}+»)

(1+n) (y+n)

l+Ą- (U„| < L).

ir

Na mory twierdzenia 5° wartość iloczynu nieskończonego jest różna od zera, szereg (12) nie spełnia warunku koniecznego zbieżności, jest zatem rozbieżny.

(’) Wartość początkową « = «₀ bierzemy tak dużą, żeby wszystkie czynniki były dodatnie.