0226

228

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

Dowód. Wobec tego, że odrzucenie skończonej liczby wyrazów początkowych szeregu nie wpływa na jego zbieżność [364, 1°] możemy uważać bez zmniejszenia ogólności, że a„ < b_n dla wszystkich wartości n = 1, 2, 3, ...

Oznaczając sumy częściowe szeregów (A) i (B) odpowiednio przez A„ i B„ mamy

A_n < B„.

Niech szereg (B) będzie zbieżny, wówczas na mocy twierdzenia podstawowego [365] sumy B_n są ograniczone

B„ < L (L = const, n = 1, 2, 3, ...).

Wobec powyższej nierówności będzie tym bardziej

A„ <L,

a to na mocy tego samego twierdzenia pociąga za sobą zbieżność szeregu (A).

W praktyce jest czasem wygodniejsze następujące twierdzenie, wynikające z poprzedniego:

Twierdzenie 2. Jeśli istnieje granica

lim4^!L = ^(¹)    (0    <-t-oo),

to, gdy K < +oo, ze zbieżności szeregu (B) wynika zbieżność szeregu (A), a gdy K > 0, z rozbieżności szeregu (A) wynika rozbieżność (B).

Jeżeli więc 0 < K < +oo, to oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne. Dowód. Niech szereg (B) będzie zbieżny i niech K < + co. Biorąc dowolną liczbę e > 0, z samej definicji granicy będziemy mieli dla dostatecznie dużych n

4^ < K+e,    skąd a„<(K + £)b_n.

b_n

Na mocy [364, 3°] równocześnie z szeregiem (B) jest też zbieżny szereg 2. (K+e) b„ otrzymany przez pomnożenie jego wyrazów przez liczbę K+e. Na mocy poprzedniego twierdzenia wynika stąd zbieżność szeregu (A).

Jeśli natomiast szereg (B) jest rozbieżny i /ć>0,to w tym przypadku stosunek odwrotny b„la_n ma granicę skończoną. Szereg (A) musi być rozbieżny, gdyby bowiem był zbieżny, to zgodnie z udowodnionym musiałby też być zbieżny szereg (B).

Przytoczymy wreszcie jeszcze jedno twierdzenie porównawcze będące także wnioskiem z pierwszego.

Twierdzenie 3. Jeśli poczynając od pewnego miejsca (powiedzmy dla n > N) jest spełniona nierówność

(3)

Qn+1 ^ b_n+i

L

a_n b_n

(') Zakładamy przy tym, że 0.

(²) Zakładamy przy tym oczywiście, że a, i b_n są różne od zera.