0258

260

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

Stąd ciąg Cauchy’ego

e. = ftai ijc|- = w -*• o,

gdy n -> oo, dla każdego *. Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego [368] szereg bezwzględnych wartości wyrazów szeregu (4) jest zbieżny, czyli szereg (4) jest zbieżny bezwzględnie.

Przypadek II: p = + oo. Udowodnimy, że w tym przypadku R = O, tzn. dla każdego *^0 szereg jest rozbieżny.

Ponieważ

p = lim j/ToJ = +oo ,

łi-»oo

można oczywiście znaleźć taki ciąg częściowy {n₍}, żeby było

lim = + oo .

Dla każdego x=£0 znajdzie się zatem takie i₀, że dla wszystkich »>/₀ będzie spełniona nierówność

lub la,, x"i\ > 1.

Widzimy, że w tym przypadku nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności — wyraz ogólny nie dąży do zera. A zatem szereg (4) jest rozbieżny.

Przypadek III: p jest skończoną liczbą dodatnią: 0<p< + oo. Udowodnimy, że w tym wypadku R = 1/p, tzn. że dla |*| < 1/p.szereg jest bezwzględnie zbieżny, a dla |jc| > 1/p szereg jest rozbieżny. Weźmy dowolne x, dla którego |*| < 1/p. Wybieramy c >0 tak małe, aby była spełniona nierówność

1*1 <

1

p + e

Na podstawie pierwszej własności granicy górnej ciągu [42] dla tej liczby e istnieje zawsze taka liczba N_t, że dla wszystkich n>N_t jest

V\aj< P+e.

Stąd wynika, że ciąg Cauchy’ego C'„ spełnia nierówność

C. = ]/\a_nx?\ - |*| \/\aJ< x(p+e) < 1

dla wszystkich n>N_e. Na mocy kryterium Cauchy’ego szereg utworzony z bezwzględnych wartości wyrazów szeregu (4) jest zbieżny, a więc sam szereg (4) jest zbieżny bezwzględnie.

Weźmy teraz dowolne * spełniające nierówność l*| > 1/p. Wybierzemy e tak małe, żeby było

1*1 >

1

p-e

Na mocy drugiej własności granicy górnej [42] istnieją dowolnie duże n, dla których zachodzi nierówność

VW> p-e,

tak że

V\o- **l > W (P~e) > 1.

Istnieją więc dowolnie duże n, dla których jest

In, *"| > 1;

szereg t4) jest zatem rozbieżny.